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Epistemowikia

Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Matemática discreta y numérica

De Epistemowikia
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Matemática discreta y numérica
Proyecto de aprendizaje libre.
(Libre en el sentido de Freedomdefined).

Fundamentos

  • Lógica
  • Conjuntos[TT], relaciones[TT] y funciones[TT]
  • Cardinalidad
  • Sucesiones[TT] y sumas[TT]
  • Matrices[TT]

Números y sobre números

  • Algoritmos[TT]
  • Teoría de números
  • Inducción[TT] y recursión[TT]
  • Verificación[TT]
  • Computabilidad[TT]
  • Álgebra y cálculo numéricos

Contando, recontando e infiriendo discreta y fundamentadamente

  • Teoría combinatoria
  • Probabilidad discreta[TT]
  • Relaciones recurrentes
  • Procesos estocásticos[TT]

Visualizando relaciones: grafos, árboles y redes

  • Estructuras algebraicas[TT]
  • Grafos
  • Árboles
  • Redes
  • Teoría de juegos[TT]
  • Optimización[TT]
[TT] = Tema transversal.
La Escuela Politécnica (EPCC) de la Universidad de Extremadura en el Campus de Cáceres, Extremadura, España.


La comunidad de aprendizaje del curso «Ampliación de Matemáticas», de la Escuela Politécnica (EPCC) de la Universidad de Extremadura en Cáceres, pretende contribuir a Wikipedia en español vía este proyecto educativo.

Contenido

Justificación

Con este proyecto, pretendo contribuir a que lo conocido como evaluación deje de ser un mero instrumento de medida del grado de asimilación de los contenidos, convirtiéndose en una experiencia formativa, capaz de sacar a la luz, capacidades, habilidades, actitudes y valores inherentes o reforzados o adquiridos durante el proceso de aprendizaje, a la vez que pone a prueba las facultades de comprensión, la aptitud para las labores prácticas y la creatividad, reforzando la capacidad de asunción de responsabilidades sociales y las competencias interpersonal y cívica. En particular, los principales elementos relacionados con el aprendizaje que se refuerzan son:

  • Aprendizaje entre iguales
  • Compartir y dar
  • Competencia para la investigación
  • Competencias técnica y de comunicación
  • Cooperar y colaborar
  • Pensamiento crítico
  • Resolución colaborativa de problemas
  • Responsabilidad individual
  • Socialización
  • Trabajo y procesamiento en equipo
  • Transferencia de conocimiento a la sociedad

Esquema de trabajo

Tipo y número mínimo de contribuciones

Se trata de realizar un mínimo de cuatro contribuciones mayores en Wikipedia, relacionadas con la matemática discreta y numérica, un mínimo de una por cada una de los cuatro temas de cabecera: «Fundamentos», «Números y sobre números», «Contando, recontando e infiriendo discreta y fundamentadamente» y «Visualizando relaciones: grafos, árboles y redes».

Cada una de estas contribuciones puede centrarse en una o varias de las siguientes actividades:

  1. Contribución a páginas existentes en Wikipedia.
    Una vez localizado uno o más artículos existentes de nuestro interés, centraríamos nuestra contribución en una o varias de las siguientes actividades y objetivos:
    1. Ampliar y mejorar artículos.
    2. Análisis crítico de artículos existentes (en la página de discusión de los mismos).
      (Respétese lo indicado por la de Wikipedia comunidad de Wikipedia en español en la página de ayuda sobre cómo usar páginas de discusión y en las convenciones sobre páginas de discusión).
    3. Añadir aplicaciones teóricas y prácticas y casos de uso (en particular en el ámbito de Ciencia, Tecnología y Sociedad [CTS]).
    4. Añadir ejemplos y supuestos prácticos.
    5. Añadir notas, referencias, bibliografía, enlaces internos, enlaces externos y contenido multimedia (fotos, ilustraciones, vídeos).
    6. Corrección conceptual.
    7. Corrección de estilo.
    8. Lograr la mención de artículo de calidad.
      (Véase qué considera la comunidad de Wikipedia en español un artículo bueno y un artículo destacado).
    9. Traducción de artículos.
      (Respétese lo indicado por la comunidad de Wikipedia en español en la página de ayuda sobre cómo traducir un artículo).
  2. Crear artículos nuevos.
    (Una vez elegido el tema y revisados los contenidos relativos ya existentes en la Wikipedia en español, podríamos optar por la creación de un nuevo artículo. Respétese lo indicado por la comunidad de Wikipedia en español en la página de ayuda sobre cómo empezar una página, la que, además, como colofón, pone a nuestra disposición un asistente para la creación de artículos).

En todos los casos, respétese lo indicado por la comunidad de Wikipedia en español en la página de ayuda sobre cómo escribir mejores artículos (la cual, en particular, incluye enlaces directos a la página de ayuda sobre cómo se edita una página y al manual de estilo).

Fechas

  • Lunes, 6 de febrero de 2017: Inicio de la componente académica para el 2º semestre del curso 2016-2017.
  • Jueves, 16 de febrero de 2017: Haberte registrado en Epistemowikia, si aún no lo estabas y haberte familiarizado con la edición (para lo que puedes partir de su página de ayuda).
  • Martes, 21 de febrero de 2017: Haberte registrado en Wikipedia en español si aún no lo estabas y haber elegido los artículos de los que te haces responsable.
Si bien, desde el momento que lo tengas todo claro, puedes apuntarte también a la lista de participantes en la Wikipedia en español y trabajar directamente en ella.
  • Jueves, 6 de abril de 2017: Haber publicado, de manera continua, la parte pública de un primer autoinforme sobre lo desarrollado hasta el momento, en tu cuaderno de bitácora y en la página de contribuciones del proyecto.
  • Jueves, 11 de mayo de 2017: Haber publicado, de manera continua, la parte pública del autoinforme sobre todo tu trabajo, en tu cuaderno de bitácora y en la página de contribuciones del proyecto.
  • Viernes, 19 de mayo de 2017: Finalización de la componente académica para el 2º semestre del curso 2016-2017.
  • Importante: No está de más recordar que tanto Epistemowikia como Wikipedia son sitios wiki públicos, libres y abiertos, por lo que fuera de este rango de fechas, debido a tal naturaleza, el proyecto sigue abierto.

Deberes dinámicos

Mientras el proyecto esté activo, cada estudiante deberá:

  • desarrollar todas sus contribuciones atendiendo a los criterios de calidad de Wikipedia en español;
  • estar atento y atender todos los comentarios, ediciones y aportes a sus contribuciones;
  • actualizar su cuaderno de bitácora según lo que vaya contribuyendo;
  • colaborar con el resto de los estudiantes, leyendo y revisando sus trabajos y ayudándoles en todo lo que le sea posible.

Comienzo en Epistemowikia

Utilizamos Epistemowikia para desarrollar las contribuciones principales hasta alcanzar los estándares mínimos de publicación requeridos en Wikipedia en español.

Algo de lo que aquí se menciona en relación a Epistemowikia es común para Wikipedia y aún más, mucho es similar.

  1. Para contribuir, necesitas registrarte.
    1. Primero, crea una cuenta.
    2. A continuación, debes confirmar tu dirección de correo; para ello, accede con tu usuario y contraseña a Epistemowikia, ve a tus preferencias personales y sigue las indicaciones. De esta manera, todas tus ediciones serán atribuidas a tu nombre de usuario, además de disponer de otras ventajas.
  2. Puedes modificar, según tu agrado, tus preferencias.
  3. En tus preferencias personales, debes activar las tres opciones siguientes:
    [X] Aceptar correo electrónico de otros usuarios
  4. [X] Enviarme un correo electrónico cuando se modifique una página o un archivo de mi lista de seguimiento
    [X] Enviarme un mensaje de correo electrónico cuando se modifique mi página de discusión
  5. La lista de todas las páginas que sigues aparece aquí. Debes incluir los foros de la asignatura en dicha lista. Para ello, edita tu lista de seguimiento en crudo e incluye los siguientes nombres de páginas de Epistemowikia:
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Noticias, Actualidad y Ocio - News, Current Events and Leisure
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Cafetería - Cafe
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Foro AM-FM - Forum AM-FM
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Metodología-Evaluación - Methodology-Assessment
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Trabajos Fin de Asignatura - Term papers
    Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Matemática discreta y numérica
    Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Discrete and numerical mathematics
    De este modo, al tener activada la opción de «Enviarme un correo electrónico cuando se modifique una página o un archivo de mi lista de seguimiento», recibirás un correo electrónico cada vez que se envíe un mensaje a cualquiera de estos foros.
    Nota: En cualquier momento puedes añadir una página a tu lista de seguimiento pulsando la estrella que aparece al lado de la pestaña «Ver historial».
  6. Incorpórate como participante en el proyecto, en Epistemowikia, junto a los demás, en la subpágina dedicada del mismo: Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Matemática discreta y numérica/Participantes
  7. Muestra tus principales contribuciones al proyecto, en Epistemowikia, junto a las de los demás, en la subpágina común dedicada del mismo: Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Matemática discreta y numérica/Contribuciones
  8. Cualquier persona puede ver la lista de todas tus contribuciones en Especial:Contribuciones. Aunque de esa forma podría hacerse un seguimiento de tu dedicación a este proyecto de aprendizaje, es mejor que destaques tus contribuciones mayores en una página dedicada. Esta deberá ser una subpágina de tu página de usuario, que te servirá así, como cuaderno de bitácora en la que quedará registro público, abierto y libre de tu actividad relacionada con el proyecto (básicamente lo terminado, lo que está en desarrollo y lo que falta hasta por empezar, con referencias a fechas de cumplimiento de las tareas). La creación de dicha subpágina es sencilla, basta que navegues a la siguiente dirección, sustituyendo minombredeusuario por tu nombre de usuario:
    http://cala.unex.es/cala/epistemowikia/index.php/Usuario:minombredeusuario/Cuaderno_de_bitácora
  9. Aunque Epistemowikia tiene una página de prácticas, es razonable que tengas una propia tuya:
    http://cala.unex.es/cala/epistemowikia/index.php/Usuario:minombredeusuario/arenero
  10. Importante:
    1. En Epistemowikia, por defecto, las fórmulas matemáticas se representan con MathML (vía un servidor Mathoid de terceros). Si en alguna ocasión genera error, id a vuestra página de preferencias de apariencia y temporalmente (o no, según prefiráis) cambiad la representación de la Matemática a PNG (la primera de las opciones).
    2. Si lo que habéis hecho es una edición menor, marcad la casilla correspondiente. Así, a la comunidad, le indicas que es una modificación no sustancial y que bien pueden no revisarla; además, produces una carga mínima en la base de datos.

En la Wikipedia en español

Todo lo anterior, aunque puede derivar en paralelo, por ejemplo por aplicación del punto de vista sociable en ciertas contribuciones, ha servido de entrenamiento para contribuir de manera efectiva a la Wikipedia en español.

  • Crea una cuenta en la Wikipedia en español, si no la tienes ya.
  • A continuación, debes confirmar tu dirección de correo; para ello, accede con tu usuario y contraseña a Wikipedia en español, ve a tus preferencias personales y sigue las indicaciones. De esta manera, todas tus ediciones serán atribuidas a tu nombre de usuario, además de disponer de otras ventajas.
  • Puedes modificar, según tu agrado, tus preferencias. Por ejemplo, en tus preferencias personales, debes activar las dos opciones siguientes:
    • [X] Aceptar correo electrónico de otros usuarios
    • [X] Enviarme un correo electrónico cuando se modifique una página en mi lista de seguimiento
  • La lista de todas las páginas que sigues aparece aquí.
  • Incorpórate como participante en el proyecto, en Wikipedia en español, en la subpágina dedicada del mismo: Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Participantes
  • Muestra tus principales contribuciones al proyecto, en Wikipedia en español, en la subpágina dedicada del mismo: Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Contribuciones
  • Cualquier persona puede ver la lista de todas tus contribuciones aquí. Aunque de esa forma podría hacerse un seguimiento de tu dedicación a este proyecto de aprendizaje, es mejor que destaques tus contribuciones mayores en una página dedicada. Esta deberá ser una subpágina de tu página de usuario, que te servirá así, como cuaderno de bitácora en la que quedará registro público, abierto y libre de tu actividad relacionada con el proyecto (básicamente lo terminado, lo que está en desarrollo y lo que falta hasta por empezar, con referencias a fechas de cumplimiento de las tareas). La creación de dicha subpágina es sencilla, basta que navegues a la siguiente dirección, sustituyendo minombredeusuario por tu nombre de usuario: https://es.wikipedia.org/wiki/Usuario:minombredeusuario/Cuaderno_de_bitácora (ésta, precisamente, es la página que aloja tu autoinforme).
  • Tu página de prácticas, por defecto, es la subpágina Taller de tu página de usuario.
  • Si lo que has hecho es una edición menor, marca la casilla correspondiente. Así, a la comunidad, le indicas que es una modificación no sustancial y que bien pueden no revisarla; además, produces una carga mínima en la base de datos.
  • Si vas a crear un artículo y no sabes muy bien cómo, podrías usar el asistente para la creación de artículos .
  • Recuerda, la página del proyecto en la Wikipedia en español es: Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica.

Autoinforme

En todos los casos, cada estudiante debe escribir, de manera continua, a la par que las hace, un autoinforme de todas las contribuciones realizadas, en su cuaderno de bitácora, justificando la relación con los cuatro temas de cabecera considerados.

Dicho autoinforme constará de una parte privada y otra pública.

Parte privada:

Estudiante (nombre y apellidos): __________
Contribuyente en la Wikipedia en español (nombre de usuario y localizador URL de su página de usuario): __________
Valoración global de toda la contribución realizada: __________

Parte pública, libre y abierta (quedará una copia en Epistemowikia): __________

Contribuyente en la Wikipedia en español (nombre de usuario y localizador URL de su página de usuario): __________
Contribuciones mayores en la Wikipedia en español (títulos de los artículos y sus localizadores URL): __________
Otras contribuciones en la Wikipedia en español: __________
Resumen global de toda la contribución realizada y justificación de su relación con los cuatro temas de cabecera considerados: __________

Plan de aprendizaje universitario sobre matemática discreta y análisis numérico: caminos de aprendizaje en Wikipedia

Consideraciones

Ejemplos de examen y algunas soluciones

Nota importante: En un examen pueden plantearse cuestiones sobre cualquiera de los diferentes temas trabajados en clase, teóricas (incluyendo demostraciones vistas de teoremas) o prácticas. En ningún caso, la concreción de las cuestiones que aparecen en los ejemplos siguientes implica un recorte de los contenidos a estudiar.

Parte 1: Temas 1 y 2

Ejemplo de examen, 1

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).
Con la ayuda de la lógica proposicional, demuestre si el siguiente argumento es o no válido: «Este programa compilará siempre que hayamos declarado las variables. Eso sí, declararemos las variables precisamente si no se nos olvida hacerlo. Resulta que el programa no ha compilado. Entonces es que hemos olvidado declarar las variables».
Importante: No lo haga por el método de las tablas de verdad.

Solución:
Puede consultarse la solución completa mediante tablas semánticas de un ejemplo tipo en este documento.

Cuestión 2. (2,5 puntos).

  • a) Proponga tres conjuntos A, B y C, tales que A \in B, B \in C y A \notin C. (0,5 puntos).
  • b) Según una encuesta realizada a un determinado grupo de estudiantes, ellos, ante dos asignaturas igualmente interesantes por sus contenidos, prefieren una a otra si el tiempo dedicado a su estudio es menor y prevén obtener una calificación mayor en el examen. En el caso de igualdad de tiempos y de previsiones, les son indiferentes. Estudie las propiedades de esta relación binaria. (2 puntos).

Cuestión 3. (2,5 puntos).
Halle un posible término general a_n de la sucesión a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4, a_4 = 7 utilizando la interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas.

Solución:
Por costumbre de comenzar en n = 0, lo hacemos para b_0 = 1, b_1 = 2, b_2 = 4, b_3 = 7 y después ajustamos. Llamando f(n) a b_n, el cuadro de diferencias divididas es el siguiente:

{\displaystyle 
\begin{array}{cc|ccc|cccc|cc}
i & j & x_i & f(x_i) & f(x_i,x_j) & i & j & k & l & f(x_i,x_j,x_k) & f(x_i,x_j,x_k,x_l) \\
\hline
0 &   & 0 & 1 &   &   &   &   &   &     &   \\
0 & 1 &   &   & 1 &   &   &   &   &     &   \\
1 &   & 1 & 2 &   & 0 & 1 & 2 &   & 1/2 &   \\
1 & 2 &   &   & 2 & 0 & 1 & 2 & 3 &     & 0 \\
2 &   & 2 & 4 &   & 1 & 2 & 3 &   & 1/2 &   \\
2 & 3 &   &   & 3 &   &   &   &   &     &   \\
3 &   & 3 & 7 &   &   &   &   &   &     &   \\
\end{array}
} donde: {\displaystyle 
\begin{align}
f(x_i,x_j) &= \frac{f(x_j) - f(x_i)}{x_j - x_i} \\
f(x_i,x_j,x_k) &= \frac{f(x_j,x_k) - f(x_i,x_j)}{x_k - x_i} \\
&\;\;\vdots \\
f(x_0,x_1,\ldots,x_n) &= \frac{f(x_1,x_2,\ldots,x_n) - f(x_0,x_1,\ldots,x_{n-1})}{x_n - x_0}
\end{align}
} siendo la expresión general del polinomio interpolador: {\displaystyle 
\begin{align}
f_n(x) = f(x_0) &+ (x - x_0) f(x_0, x_1) \\
                &+ (x - x_0) (x - x_1) f(x_0, x_1, x_2) \\
                &+ \cdots \\
                &+ (x - x_0) (x - x_1) \ldots (x - x_{n-1}) f(x_0, x_1, \dots, x_n)
\end{align}
} o en forma recurrente: {\displaystyle 
f_n(x) = f_{n-1}(x) + (x - x_0) (x - x_1) \ldots (x - x_{n-1}) f(x_0, x_1, \dots, x_n)
} Así:

  • f_0(x) = f(x_0) = f(0) = 1, propuesta válida para x_0, pero no ya para x_1 pues f_0(x_1) = f_0(1) = 1 \neq 2 = f(1).
  • f_1(x) = f_0(x) + (x - x_0) f(x_0, x_1) = 1 + (x - 0) \cdot 1 = 1 + x, válido para x_0 y x_1 pero no para x_2 ya que f_1(x_2) = f_1(2) = 3 \neq 4 = f(2).
  • f_2(x) = f_1(x) + (x - x_0) (x - x_1) f(x_0, x_1, x_2) = 1 + x + (x - 0) (x - 1) \cdot 1/2 = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2}, que sí es válido ya para todos, incluso para x_3, al ser f_2(x_3) = f_2(3) = 7 = f(3).
  • La siguiente diferencia es cero, lo que confirma que el polinomio interpolador propuesto por este método sea de grado dos:

{\displaystyle 
f_2(x) = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{2}
}

En fin, que comenzando en n = 0, el término general es b_n = 1 + \frac{n}{2} + \frac{n^2}{2}, y ajustando para un comienzo en n = 1, tal como se pide, el término general es: {\displaystyle 
a_n = 1 + \frac{n-1}{2} + \frac{(n-1)^2}{2}
} Sol.: a_n = 1 + \frac{n-1}{2} + \frac{(n-1)^2}{2}.


Cuestión 4. (2,5 puntos).
En base 10, halle las cifras x,y para que el número 12xy567 sea divisible por 33.

Solución:
33 = 3 \times 11.

Un número es divisible por 3 precisamente si lo es la suma de sus cifras: {\displaystyle 
3 \,\vert\, 12xy567 \Leftrightarrow 3 \,\vert\, (7 + 6 + 5 + y + x + 2 + 1)
} esto es: {\displaystyle 
\begin{align}
3 \,\vert\, 12xy567 &\Leftrightarrow 3 \,\vert\, (21 + x + y) \\
                    &\Leftrightarrow 21 + x + y = \dot{3} \\
                    &\Leftrightarrow x + y = \dot{3} - 21
\end{align}
} Además: {\displaystyle 
x,y \mbox{ son cifras en base } 10 \Rightarrow 0 \leqslant x,y \leqslant 9
} por lo que: {\displaystyle 
0 \leqslant x + y \leqslant 18
} Hallamos, por tanto, qué diferencias \dot{3} - 21 satisfacen pertenecer a \left[ 0, 18 \right]: {\displaystyle \dot{3} - 21 = \left\lbrace \ldots, 0(=21-21), 3(=24-21), 6(=27-21), 9(=30-21), 12(=33-21), 15(=36-21), 18(=39-21), \ldots \right\rbrace} por lo que pueden suceder 7 situaciones posibles: {\displaystyle x + y = 0 \veebar x + y = 3 \veebar x + y = 6 \veebar x + y = 9 \veebar x + y = 12 \veebar x + y = 15 \veebar x + y = 18}

Un número es divisible por 11 precisamente si la suma de las cifras de lugar par menos la suma de las cifras de lugar impar es divisible entre 11: {\displaystyle 
11 \,\vert\, 12xy567 \Leftrightarrow 11 \,\vert\, ((7 + 5 + x + 1) - (6 + y + 2))
} esto es: {\displaystyle 
\begin{align}
11 \,\vert\, 12xy567 &\Leftrightarrow 11 \,\vert\, (5 + x - y) \\
                    &\Leftrightarrow 5 + x - y = \dot{11} \\
                    &\Leftrightarrow x - y = \dot{11} - 5
\end{align}
} Además: {\displaystyle 
x,y \mbox{ son cifras en base } 10 \Rightarrow 0 \leqslant x,y \leqslant 9
} por lo que: {\displaystyle 
-9 \leqslant x - y \leqslant 9
} Hallamos, por tanto, qué diferencias \dot{11} - 5 satisfacen pertenecer a \left[ -9, 9 \right]: {\displaystyle \dot{11} - 5 = \left\lbrace \ldots, -5(=0-5), 6(=11-5), \ldots \right\rbrace} por lo que pueden suceder 2 situaciones posibles: {\displaystyle x - y = -5 \veebar x - y = 6}

Tenemos, entonces 7 \times 2 = 14 situaciones posibles:

Cuadro de posibles situaciones
Λ x + y = 0 x + y = 3 x + y = 6 x + y = 9 x + y = 12 x + y = 15 x + y = 18
x - y = -5 2x = -5
x = \frac{-5}{2}
2x = -2
x = -1
2x = 1
x = \frac{1}{2}
2x = 4
x = 2
y = 7
2x = 7
x = \frac{7}{2}
2x = 10
x = 5
y = 10
2x = 13
x = \frac{13}{2}
No: x no es una cifra
en base 10
No: x no es una cifra
en base 10
No: x no es una cifra
en base 10
Sí: x,y sí son cifras
en base 10
No: x no es una cifra
en base 10
No: y no es una cifra
en base 10
No: x no es una cifra
en base 10
x - y = 6 2x = 6
x = 3
y = -3
2x = 9
x = \frac{9}{2}
2x = 12
x = 6
y = 0
2x = 15
x = \frac{15}{2}
2x = 18
x = 9
y = 3
2x = 21
x = \frac{21}{2}
2x = 24
x = 12
No: y no es una cifra
en base 10
No: x no es una cifra
en base 10
Sí: x,y sí son cifras
en base 10
No: x no es una cifra
en base 10
Sí: x,y sí son cifras
en base 10
No: x no es una cifra
en base 10
No: x no es una cifra
en base 10

Luego hay tres posibles soluciones: \binom{x}{y} \in \left\lbrace \binom{2}{7}, \binom{6}{0}, \binom{9}{3} \right\rbrace.

Así, los números posibles son: 1227567, 1260567, 1293567,

divisibles entre 33, siendo sus cocientes respectivos: 37199, 38199, 39199.


Ejemplo de examen, 2

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).

  • a) Defina conjunto adecuado de conectivas (cac), también llamado conjunto completamente expresivo o funcionalmente completo de conectivas.
  • b) Proporcione dos ejemplos de cac de cardinal dos, razonando por qué lo son, suponiendo conocido el cac de las cinco conectivas más usuales \left\lbrace \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow \right\rbrace.
Solución:
  • a) En Lógica Proposicional, un conjunto adecuado de conectivas (cac) es cualquier conjunto de conectivas tal que todas las conectivas de la lógica puedan representarse en función, únicamente, de las del conjunto.
  • b) Como dice el enunciado de la cuestión, suponemos conocido que el conjunto de las conectivas más usuales,  \lbrace \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, \leftrightarrow \rbrace es un cac. Dos ejemplos, de cardinal dos, de cac son los conjuntos  \lbrace \neg, \wedge \rbrace y  \lbrace \neg, \vee \rbrace . En efecto, y para su demostración basta ver que de las cinco conectivas del cac conocido, las que faltan en cada uno de los cac de cardinal dos pueden representarse solamente con ellas: {\displaystyle 
\begin{align}
\lbrace \neg, \wedge \rbrace: p \vee q & \equiv \neg (\neg p \wedge \neg q)\\
p \rightarrow q & \equiv \neg (p \wedge \neg q)\\
p \leftrightarrow q & \equiv \neg (p \wedge \neg q) \wedge \neg (\neg p \wedge q)\\
\lbrace \neg, \vee \rbrace: p \wedge q & \equiv \neg (\neg p \vee \neg q)\\
p \rightarrow q & \equiv \neg p \vee q\\
p \leftrightarrow q & \equiv \neg (\neg (\neg p \vee q) \vee \neg (p \vee \neg q))
\end{align}
}

Cuestión 2. (2,5 puntos).
Demuestre, por definición, que \mathbb{N} es un conjunto infinito.

Solución:
Un conjunto es infinito precisamente si existe una biyección entre él y un subconjunto propio suyo (definición de Dedekind). Sea, por ejemplo, f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\setminus\{0\}, definida por n \mapsto f(n) = n+1. Veamos que es una aplicación biyectiva. En efecto:
  • f es aplicación \Leftrightarrow \left( \forall x \in \mathbb{N} \right) \left( \exists y \in \mathbb{N}\setminus\{0\} \right) \left( f(x) = y \right) \wedge \left( \forall x,x' \in \mathbb{N} \right) \left( x = x' \rightarrow f(x) = f(x') \right), lo cual es trivial, ya que dado x \in \mathbb{N}, por definición de f, existe y_x = x+1 \in \mathbb{N}\setminus\{0\}, siendo este y_x único para cada x, es decir, que si x = x', por definición de f, f(x) = x+1 = y_x = y_{x'} = x'+1 = f(x');
  • f es inyectiva \Leftrightarrow \left( \forall x,x' \in \mathbb{N} \right) \left( f(x) = f(x') \rightarrow x = x' \right), lo cual es trivial por definición de f, pues si f(x) = f(x'), es decir, si x+1 = x'+1, entonces, x = x';
  • f es sobreyectiva \Leftrightarrow \left( \forall y \in \mathbb{N}\setminus\{0\} \right) \left( \exists x \in \mathbb{N} \right) \left( f(x) = y \right), lo cual también es trivial por definición de f, ya que dado y, x = y-1 es tal que f(x) = f(y-1) = (y-1) + 1 = y.

Cuestión 3. (2,5 puntos).
Abigail quiere enviar a Balbina el mensaje más simple de llamada: eh. Solo puede transmitir números. Abigail y Balbina usan la posición de las letras en el alfabeto para codificarlas (así, Abigail codifica e como 06 y h como 08). Para cifrar y descifrar el mensaje, utilizarán RSA. Si Abigail elige como base para RSA, los primos p = 3 y q = 7:

  • a) póngase en el papel de Abigail y obtenga el mensaje cifrado que debe enviar a Balbina;
  • b) póngase en el papel de Balbina y descifre el mensaje cifrado que Abigail le ha enviado.
Solución:
Sigamos los pasos del procedimiento RSA:
  • 1) p = 3, q = 7.
  • 2) r = p \cdot q = 21.
  • 3) \phi (21) = 12 (phi de Euler de 21).
  • 4) Hemos de elegir como clave secreta (SK) un número coprimo con 12 y menor que 12; elegimos SK = 5.
  • 5) La relación entre la clave secreta y la pública (PK) es SK \cdot PK \equiv 1 \pmod{\phi(r)}, en este caso: 5 \cdot PK \equiv 1 \pmod{12}, por lo que PK = 5.
  • 6) El mensaje (eh) codificado es 0608. Se puede demostrar que si el mensaje codificado X, es tal que 0 \leq X \leq r-1, entonces el mensaje cifrado Y, también es tal que 0 \leq Y \leq r-1. Como interesa codificar, después cifrar, a continuación descifrar y por último, decodificar, hemos de agrupar en bloques tales que su codificación individual sea menor o igual que r-1 = 20. Sean X_1 = 06 y X_2 = 08 e Y_1 e Y_2 los respectivos bloques ya cifrados. De acuerdo al método RSA, el cifrado de X_i se lleva a cabo solucionando la ecuación en congruencias X_i^{PK} \equiv Y_i \pmod{r} y el descifrado de Y_j solucionando la ecuación Y_j^{SK} \equiv X_j \pmod{r}.

Respondamos ahora a los dos apartados de la cuestión.

  • a) Pongámonos ahora en el papel de Abigail y obtengamos el mensaje cifrado que debemos enviar a Balbina. Cifremos X_1 = 06: la solución de 6^{5} \equiv Y_1 \pmod{21} es Y_1 = 6. Cifremos X_2 = 08: la solución de 8^5 \equiv Y_2 \pmod{21} es Y_2 = 8. Así, el mensaje que debemos enviar es: 0608.
  • b) Pongámonos ahora en el papel de Balbina y descifremos el mensaje cifrado que Abigail nos ha enviado. Descifremos Y_1 = 06: la solución de 6^{5} \equiv X_1 \pmod{21} es X_1 = 6. Descifremos Y_2 = 08: la solución de 8^5 \equiv X_2 \pmod{21} es X_2 = 8. Así, el mensaje que acabamos de descifrar es: 0608.

Cuestión 4. (2,5 puntos).
Una empresa gastó 100000 euros en 100 dispositivos electrónicos, algunos de última generación y máximas prestaciones. Compró teléfonos inteligentes a 50 euros, tabletas a 1000 y portátiles a 5000. ¿Cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Encuentre la solución utilizando la teoría de las ecuaciones:

  • a) diofánticas;
  • b) en congruencias.
Solución:
Traducida la información del enunciado a un sistema de ecuaciones lineales y simplificado este último:

{\displaystyle 
\begin{align}
\left\lbrace
\begin{align}
x &+ y &+ z &= 100 \\
50x &+ 1000y &+ 5000z &= 100000
\end{align}
\right.
&\Rightarrow
\left\lbrace
\begin{align}
x &+ y &+ z &= 100 \\
x &+ 20y &+ 100z &= 2000
\end{align}
\right. \\
&\Rightarrow
\left\lbrace
\begin{align}
x + y + z &= 100 \\
x + y + z + 19y + 99z &= 2000
\end{align}
\right. \\
&\Rightarrow
100 + 19y + 99z = 2000 \\
&\Rightarrow
99z + 19y = 1900
\end{align}
}

  • a) Una ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene solución precisamente si \operatorname{mcd}{(a,b)} \mid c. En tal caso, una solución particular de la ecuación es: {\displaystyle 
\left( x_0,y_0 \right) = \left( \frac{cp}{d}, \frac{cq}{d} \right)
} donde d = \operatorname{mcd}{(a,b)} y p y q son los coeficientes de a y b en la combinación lineal igual a d (identidad de Bèzout). La solución general de dicha ecuación es: {\displaystyle 
\binom{x}{y} = \binom{x_0}{y_0} + \frac{k}{d} \binom{b}{-a}
} donde \binom{x_0}{y_0} es una solución particular y k \in \mathbb{Z}.
    El siguiente cuadro muestra la utilización del algoritmo extendido de Euclides para el caso que nos ocupa. La computación para cuando el resto es cero (en color rojo). El resto anterior, 2 (en color rojo), es el máximo común divisor. Los coeficientes de Bézout son 5 y -26 (en color magenta). Los números en cian, -19 y 99, sin considerar el signo, son los cocientes de los originales entre el máximo común divisor.
    índice i cociente qi−1 resto ri si ti
    0 99 1 0
    1 19 0 1
    2 99 ÷ 19 = 5 995 × 19 = 4 15 × 0 = 1 0 − 5 × 1 = −5
    3 19 ÷ 4 = 4 194 × 4 = 3 04 × 1 = −4 1 − 4 × (−5) = 21
    4 4 ÷ 3 = 1 41 × 3 = 1 11 × (−4) = 5 −5 − 1 × 21 = −26
    5 3 ÷ 1 = 3 33 × 1 = 0 −43 × 5 = −19 21 − 3 × (−26) = 99
    Por tanto, una solución particular es:

    {\displaystyle 
\left( z_0,y_0 \right) = \left( \frac{1900 \cdot 5}{1}, \frac{1900 \cdot (-26)}{1} \right) = \left( 9500, -49400 \right)
} y la solución general es: {\displaystyle 
\binom{z}{y} = \binom{9500}{-49400} + \frac{k}{1} \binom{19}{-99}
} con k \in \mathbb{Z}.
    Ahora bien, ¿cuántos dispositivos compró de cada clase, sabiendo que compró al menos uno de cada clase? Veamos. Sabemos que z > 0 y que y > 0. Por tanto, 9500 + 19k > 0 y -49400 - 99k > 0, de donde -500 < k y k < -498,9. Como k \in \mathbb{Z}, k = -499. Sustituyendo, obtenemos: z = 19, y = 1 y x = 100 - 1 - 19 = 80.
    Sol.: 80 teléfonos, 1 tableta y 19 portátiles.

  • b) Vista como una ecuación en congruencias, puede ser: {\displaystyle 
99z \equiv 1900 \pmod{19}
} O lo que es equivalente: {\displaystyle 
99z \equiv 0 \pmod{19}
} Como \operatorname{mcd}{(99,19)} = 1, este camino nos lleva a que son posibles soluciones todos los múltiplos positivos de 19 menores que 100: z \in \left\lbrace 19, 38, 57, 76, 95 \right\rbrace.
    Probemos otro camino. La ecuación diofántica 99z + 19y = 1900 también tiene otra vista como ecuación en congruencias: {\displaystyle 
19y \equiv 1900 \pmod{99}
} O lo que es equivalente: {\displaystyle 
19y \equiv 19 \pmod{99}
} Como \operatorname{mcd}{(99,19)} = 1, tiene una solución única \pmod{99}, que es: {\displaystyle 
y \equiv 19 \cdot 19^{\phi(99)-1} \pmod{99}
} esto es, {\displaystyle 
y \equiv 19^{60} \pmod{99}
} Explorando los residuos potenciales, encontramos que: {\displaystyle 
19^{10} \equiv 1 \pmod{99}
} de donde, multiplicando esta congruencia seis veces, miembro a miembro: {\displaystyle 
19^{60} \equiv 1 \pmod{99}
} y al ser transitiva la relación de congruencia: {\displaystyle 
y \equiv 1 \pmod{99}
} Es decir, y = 1 (ya que y < 100).
    Como 99z + 19y = 1900, obtenemos que z = 19.
    Finalmente, de x + y + z = 100, tenemos que x = 80.
    Sol.: 80 teléfonos, 1 tableta y 19 portátiles.


Parte 2: Temas 3 y 4

Ejemplo de examen 1

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).
Sea D el conjunto de los dígitos decimales, esto es, D = \left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\rbrace. Calcule:

  • a) El número de subconjuntos de D cuyos elementos son todos números primos.
  • b) El número de subconjuntos de D que tienen un número primo de elementos.
Solución:
  • a) Siendo P = \left\lbrace 2,3,5,7 \right\rbrace, lo que se pide es en realidad el número de subconjuntos no vacíos de P, esto es, restando uno (el conjunto vacío) al número total de subconjuntos de P: {\displaystyle 
\begin{align}
\left\vert{P}\right\vert - 1 &= 2^4 - 1 \\
          &= 15
\end{align}
} Sol.: 15 subconjuntos.
  • b) El número total de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n elementos viene dado por C_{n,k} = \binom{n}{k}. Por tanto, recorriendo los elementos de D que son primos: {\displaystyle 
\begin{align}
\binom{10}{2} + \binom{10}{3} + \binom{10}{5} + \binom{10}{7} &= \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot \frac{10!}{3! \cdot 7!} \cdot \frac{10!}{5! \cdot 5!} \cdot \frac{10!}{7! \cdot 3!} \\
          &= 537
\end{align}
} Sol.: 537 subconjuntos.

Cuestión 2. (2,5 puntos).
Un grupo de doce personas visita un museo. Todos llevan abrigo de lana. Al entrar, los dejan en el guardarropa. Al salir, el encargado pone sobre el mostrador los doc$e abrigos. Completamente distraídos por una conversación muy interesante, cada persona del grupo coge uno al azar. Emplee un razonamiento combinatorio para determinar de cuántas formas puede ocurrir que ninguno haya cogido su abrigo.

Solución:
Se trata de encontrar el número de desórdenes de 12 objetos. En vez de para 12, vamos a calcularlo para n. Sea \left\lbrace 1,2,\ldots,n \right\rbrace. Siendo P el conjunto de todas las permutaciones y P_k el conjunto de todos los desórdenes que fijan k elementos, entonces, el conjunto de todos los desórdenes es:

{\displaystyle 
D = P - \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} P_{i} \right)
} Veamos:

  • ¿Cuántas permutaciones fijan un número concreto? Pues las permutaciones de los otros n-1, o sea, (n-1)! y como hay n números, son (n-1)! \cdot n las permutaciones que fijan un número cualquiera.
  • ¿Cuántas permutaciones fijan dos números concretos? Pues las permutaciones de los otros n-2, o sea, (n-2)! y como hay \binom{n}{2} formas de elegir dos números distintos entre n, son \binom{n}{2} (n-2)! las permutaciones que fijan dos números cualesquiera.

Observemos que en el caso n = 2, esto es, \left\lbrace 1,2 \right\rbrace, al restar las que fijan el 1, se resta una vez las que fijan el 1 y el 2 y al restar las que fijan el 2 se resta otra vez las que fijan el 1 y el 2, por lo que hay que sumarlos una vez. Si seguimos este análisis, el número de permutaciones que no conserva ningún número en su lugar (desórdenes) es: {\displaystyle 
\begin{align}
\left\vert{D}\right\vert &= \left\vert{P}\right\vert - \left\vert{\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} P_{i} \right)}\right\vert \\
          &= \binom{n}{0} n! - \binom{n}{1} (n-1)! + \binom{n}{2} (n-2)! - \cdots + (-1)^{n+1} \binom{n}{n} 0!
\end{align}
} Así, para el caso de ser n = 12, existen: {\displaystyle 
\binom{12}{0} 12! - \binom{12}{1} (12-1)! + \binom{12}{2} (12-2)! - \cdots + (-1)^{12+1} \binom{12}{12} 0! = 176 \ 214 \ 841
} desórdenes.
Sol.: De 176 \ 214 \ 841 formas.


Cuestión 3. (2,5 puntos).
En \mathbb{N}, se define la suma de dos naturales n y m: {\displaystyle 
\begin{align}
  S(n,0) &= n \\
  S(n,m) &= S(n,m-1) + 1
\end{align}
} Demuestre que la solución de esta recurrencia es S(n) = n + m.

Solución:
Observemos que n es ajena a la recursión. Así, de una manera más sencilla pero equivalente, denotando S(n,m) por f(m), estamos ante una ecuación recurrente lineal no homogénea con coeficientes constantes, con función constante en el segundo miembro de la igualdad:

{\displaystyle 
\begin{align}
  f(0) &= n \\
  f(m) - f(m-1) &= 1
\end{align}
}

  • a) Solución general de la homogénea:
    El polinomio característico es: {\displaystyle 
P(x) = x - 1
} por lo que, 1 es raíz característica simple.
    La solución general de la homogénea es: {\displaystyle 
f(m) = c_1 1^m; \;\; c_1 \in \mathbb{R}
}
  • b) Solución particular de la no homogénea:
    Como la función del segundo miembro es constante, probamos con una constante cualquiera (número real) como posible solución particular: {\displaystyle 
k - k = 1
} pero al ser una contradicción, nos obliga a aumentar el grado. Intentémoslo con el polinomio de grado uno, P(m) = Am. Sustituyendo: {\displaystyle 
Am - A(m-1) = 1 \Rightarrow Am - Am + A = 1 \Rightarrow A = 1
} Así: {\displaystyle 
f(m) = m
} es una solución particular de la no homogénea.
  • c) Solución general de la no homogénea: {\displaystyle 
f(m) = c_1 + m; \;\; c_1 \in \mathbb{R} \;\;\;\;\; {\scriptstyle(1)}
}
  • d) Incorporación de las condiciones iniciales:
    Se sabe que f(0) = n. Por tanto: {\displaystyle 
n = f(0) = c_1 + 0 \Rightarrow c_1 = n
} Sustituyendo en (1), obtenemos la solución buscada: {\displaystyle 
f(m) = n + m
} es decir: {\displaystyle 
S(n,m) = n + m
}

Cuestión 4. (2,5 puntos).
En el conjunto A = \left\lbrace 1,3,5,7,9 \right\rbrace, considere la operación binaria: \forall x,y \in A, definida por: {\displaystyle 
x \ast y = u
} siendo u la cifra de las unidades del producto habitual x \cdot y entre números naturales (por ejemplo, 3 \ast 9 = 7).

  • a) Halle la tabla de Cayley de la operación \ast sobre A.
  • b) ¿Tiene (A;\ast) estructura de grupo abeliano? (Puede razonar utilizando la tabla de la operación).
Solución:
  • a) He aquí la tabla de Cayley de la operación binaria \ast definida en el conjunto A: {\displaystyle 
\begin{array}{c|ccccc}
\ast & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\
\hline
1 & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 \\
3 & 3 & 9 & 5 & 1 & 7 \\
5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 \\
7 & 7 & 1 & 5 & 9 & 3 \\
9 & 9 & 7 & 5 & 3 & 1 \\
\end{array}
}
  • b) Comprobemos si se satisfacen las exigencias para que sea grupo abeliano:
    • a) A es cerrado para \ast (también decimos que \ast es una operación o ley de composición interna en A) pues para cualesquiera a y b en A, a \ast b \in A. Razonar a partir de la tabla es sencillo: todos los números que aparecen son elementos de A.
    • b) \ast es asociativa en A —podrían comprobarse todas las tríadas, 1 \ast (3 \ast 5) = 1 \ast 5 = 5 = 3 \ast 5 = (1 \ast 3) \ast 5), etc., pero resulta más fácil razonar a partir de la asociatividad del producto \cdot de números naturales: simplemente, \forall x,y,z \in \mathbb{N}, x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z \Rightarrow x \ast (y \ast z) = (x \ast y) \ast z es cierto ya que en los productos entre naturales, al multiplicar unidad por unidad no hay que sumar ningún acarreo—;
    • c) \ast es conmutativa (la tabla es simétrica respecto de la diagonal principal);
    • d) el elemento neutro para \ast en A es 1 como se observa al ser la primera fila y la primera columna iguales al encabezamiento horizontal y vertical, respectivamente;
    • e) no todo elemento es simetrizable —en la tabla, para un número determinado, solo hay que buscar qué otro número operado con él da el neutro (p. ej., el inverso de 3 es 7 porque 3 \ast 7 = 7 \ast 3 = 1)—: el simétrico del 1 es el 1, el del 3, el 7, el del 7, el 3 y el del 9, el 9, pero el 5 no tiene simétrico —cualquiera de los otros números operado con 5 es 5 (se dice que 5 es un elemento absorbente para \ast en A [como el cero para el producto de enteros]) y por tanto es imposible que resulte el neutro—.

    En definitiva, (A;\ast) no tiene estructura de grupo abeliano (la tiene de monoide abeliano).


Ejemplo de examen 2

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).
Una urna contiene siete bolas numeradas del uno al siete. Las bolas se extraen todas, de una en una y sin reposición. A la par de las extracciones, se escriben las cifras resultantes por orden de salida y de izquierda a derecha. Razone con argumentos combinatorios cuántos números así formados empiezan y terminan por cifra par.

Solución:
Hay 7 posiciones. En los extremos, las hipótesis obligan cifra par. Hay tres cifras pares entre 1 y 7: 2, 4 y 6. Guiándonos por los modelos de distribuciones de objetos en recipientes, pensemos en estos 3 números (cajas distinguibles) y en los dos extremos (objetos distinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (como mucho un extremo por número, ya que no hay bolas con el mismo número). Para cada uno de estos casos en los extremos (cada una de las variaciones) hay que tener en cuenta todas las posibilidades en las 5 posiciones intermedias. Estas posibilidades son las permutaciones de 5 elementos (una nueva abstracción como 5 objetos distinguibles [las posiciones intermedias] en 5 recipientes distinguibles [los números 1, 3 y 5 y el par no presente en los extremos], esta vez siendo biyectiva la aplicación). Aplicando el principio del producto:

{\displaystyle 
\begin{align}
V_{3,2} \cdot P_5 &= 3^{\underline{2}} \cdot 5! \\
          &= (3 \cdot 2) \cdot (5!) \\
          &= 6 \cdot 120 \\
          &= 720
\end{align}
} Sol.: 720 números.


Cuestión 2. (2,5 puntos).
En una reunión de diecisiete personas se realiza una votación secreta. Dos personas han emitido un voto nulo, tres un voto en blanco, cinco han votado en contra y siete a favor. Razone con argumentos combinatorios de cuántas formas ha podido suceder esto.

Solución:
Utilicemos el modelo de distribuciones no ordenadas de bolas en cajas, representando las bolas y las cajas a los votos y las personas, respectivamente. Pensemos en las 17 personas (cajas distinguibles) y los 7 votos síes (bolas indistinguibles), con la condición de ser inyectiva la aplicación subyacente (no más de un voto por persona) —alternativamente, podemos pensar en el número de subconjuntos de 7 elementos de un conjunto de 17 elementos—. De cualquier forma, resultan C_{17,7} maneras de distribuir los votos síes en las cajas. Para cada uno de los casos (cada una de las combinaciones), quedan 10 cajas vacías. Ahora, razonando similarmente, hay C_{10,5} formas de distribuir los votos noes en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, 5 cajas vacías. Análogamente, hay C_{5,3} maneras de distribuir los votos en blanco en las cajas, quedando, para cada uno de los casos, 2 cajas vacías, por lo que hay C_{2,2} formas de colocar los votos nulos en las cajas. Aplicando el principio del producto:

{\displaystyle 
\begin{align}
C_{17,7} \cdot C_{10,5} \cdot C_{5,3} \cdot C_{2,2} &= \binom{17}{7} \cdot \binom{10}{5} \cdot \binom{5}{3} \cdot \binom{2}{2} \\
          &= \frac{17!}{7! \cdot 10!} \cdot \frac{10!}{5! \cdot 5!} \cdot \frac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot \frac{2!}{2! \cdot 0!} \\
          &= \frac{17! \cdot \cancel{10!} \cdot \cancel{5!} \cdot \cancel{2!}}{7! \cdot \cancel{10!} \cdot \cancel{5!} \cdot 5! \cdot 3! \cdot \cancel{2!} \cdot 2! \cdot 0!} \\
          &= 49 \ 008 \ 960
\end{align}
} Sol.: De 49 \ 008 \ 960 formas.


Cuestión 3. (2,5 puntos).
Sean x(t) e y(t) los números totales de software malicioso pertenecientes a dos tipos de malware, en la hora t, que coexisten en una cierta red de área extensa (wide area network, WAN) sometida a control horario de evolución de malware. Supongamos que las poblaciones iniciales eran x(0)=3 e y(0)=7 y que la evolución de la coexistencia sigue la regla:

  • cada hora, el crecimiento del malware de tipo x es la suma del triple del crecimiento de x en la hora anterior y del crecimiento de y también en hora anterior más siete nuevos malware (que son clasificados como de tipo x),
  • y también cada hora, el crecimiento del malware de tipo y es el resultado de restar el crecimiento de x en la hora anterior del crecimiento de y en la hora anterior, más tres nuevos malware (que son clasificados como de tipo y).

Encuentre y resuelva el sistema de ecuaciones de recurrencia correspondiente a la evolución del malware.

Solución:
Analicemos la evolución del malware en función del crecimiento del mismo (el enunciado no especifica que sea en función de las poblaciones y así es más sencillo al disminuir en una unidad de tiempo el orden de la relación de recurrencia). Denotemos por X_{t} e Y_{t} los crecimientos desde la hora t a la hora t+1, o sea, X_{t} = x(t+1) - x(t) e Y_{t} = y(t+1) - y(t). El sistema de ecuaciones recurrentes lineales correspondiente a la situación que se plantea es:

{\displaystyle 
\left\lbrace
\begin{align}
X_{t+1} &= 3 X_t &+ Y_t &+ 7 \;\;\;\;\; {\scriptstyle(1)} \\
Y_{t+1} &= Y_t &- X_t &+ 3 \;\;\;\;\; {\scriptstyle(2)}
\end{align}
\right.
}

  • a) Cálculo de X_t:
    De la primera ecuación: {\displaystyle 
\begin{align}
Y_t &= X_{t+1} - 3 X_t - 7 \;\;\;\;\; {\scriptstyle(3)} \\
X_{t+2} &= 3 X_{t+1} + Y_{t+1} + 7 \;\;\;\;\; {\scriptstyle(4)}
\end{align}
} Sustituyendo (2) en (4): {\displaystyle 
X_{t+2} = 3 X_{t+1} + Y_t - X_t + 3 + 7
} Sustituyendo (3) en esta última, simplificando, agrupando y ordenando, obtenemos una ecuación recurrente lineal no homogénea con coeficientes constantes y con función constante en el segundo miembro de la igualdad: {\displaystyle 
X_{t+2} - 4 X_{t+1} + 4 X_t = 3
}
    • a.1) Solución general de la homogénea:
      El polinomio característico es: {\displaystyle 
P(X) = X^2 - 4 X + 4
} es decir: {\displaystyle 
P(X) = (X - 2)^2
} así, 2 es raíz característica doble.
      La solución general de la homogénea es: {\displaystyle 
X_t = c_1 2^t + c_2 t 2^t; \;\; c_1, c_2 \in \mathbb{R}
}
    • a.2) Solución particular de la no homogénea:
      Como la función del segundo miembro es constante, probamos con una constante cualquiera (número real) como posible solución particular: {\displaystyle 
k - 4k + 4k = 3
} por lo que k = 3. Así: {\displaystyle 
X_t = 3
} es una solución particular de la no homogénea.
    • a.3) Solución general de la no homogénea: {\displaystyle 
X_t = c_1 2^t + c_2 t 2^t + 3; \;\; c_1, c_2 \in \mathbb{R} \;\;\;\;\; {\scriptstyle(5)}
}
  • b) Cálculo de Y_t:
    Sustituyendo (5) en (1), simplificando, agrupando y ordenando, obtenemos: {\displaystyle 
Y_t = \left( 2c_2 - c_1 \right) 2^t - c_2 t 2^t - 13; \;\; c_1, c_2 \in \mathbb{R}
}
  • c) Incorporación de las condiciones iniciales:
    Se sabe que x_0 = 3 y y_0 = 7. Por tanto: {\displaystyle 
X_0 = x_1 - x_0 = x_1 - 3 = c_1 2^0 + c_2 \cdot 0 \cdot 2^0 + 3 = c_1 + 3 \Rightarrow c_1 = x_1 - 6  \;\;\;\;\; {\scriptstyle(6)}
} Por otro lado: {\displaystyle 
Y_0 = y_1 - y_0 = y_1 - 7 = \left( 2c_2 - c_1 \right) 2^0 - c_2 \cdot 0 \cdot 2^0 - 13 = 2c_2 - c_1 - 13  \;\;\;\;\; {\scriptstyle(7)}
} de donde, sustituyendo (6) en (7): {\displaystyle 
y_1 - 7 = 2c_2 - x_1 + 6 - 13 \Rightarrow y_1 = 2c_2 - x_1 \Rightarrow c_2 = \frac{x_1 + y_1}{2}
}
  • d) Solución del caso planteado (evolución del malware en función del crecimiento del mismo): {\displaystyle 
\left\lbrace
\begin{align}
X_t &= \left( x_1 - 6 \right) 2^t + \left( x_1 + y_1 \right) t 2^{t-1} + 3 \\
Y_t &= \left( y_1 + 6 \right) 2^t - \left( x_1 + y_1 \right) t 2^{t-1} - 13
\end{align}
\right.
} donde x_1 e y_1 son las poblaciones de ambos tipos de malware al finalizar la primera hora (datos no proporcionados en el enunciado).

Cuestión 4. (2,5 puntos).
El grafo adjunto representa las conexiones entre cuatro estaciones de tranvía. Se pide que usted:

  • a) Escriba la matriz de adyacencia G de dicho grafo.
  • b) Interprete las matrices G^2 y G^3 (razone qué situaciones representan).
  • c) Razone, a partir de tales representaciones matriciales, si dicho grafo es o no fuertemente conexo.
  • d) Razone, a partir de dichas representaciones matriciales, cuál es la longitud del camino más corto desde A a D y cuántos pueden considerarse los «más cortos».
+—+       +—+
|D| <———> |C|
+—+       +—+
    \      ⋀
     \     |
      \    |
       \   |
        ╶┘ |
+—+       +—+
|A| <———> |B|
+—+       +—+
Solución:
  • a) La matriz de adyacencia G de dicho grafo es: {\displaystyle 
	G =
	\begin{pmatrix}
	0 & 1 & 0 & 0 \\
	1 & 0 & 1 & 0 \\
	0 & 0 & 0 & 1 \\
	0 & 1 & 1 & 0
	\end{pmatrix}
	} Formalizamos la matriz de adyacencia del grafo, haciendo correspoonder los subíndices posicionales 1, 2, 3 y 4 de sus elementos a las etiquetas A, B, C y D, de forma que, por ejemplo, g_{23} corresponde a una posible trayectoria de B a C, B \rightsquigarrow C. De esta forma, cada elemento g_{ij} de G indica el número de conexiones directas ---sin paradas intermedias (caminos de longitud uno en el grafo)--- entre las estaciones de tranvía correspondientes a i y j, en el sentido i \rightsquigarrow j. Así, g_{23} = 1 se interpreta como la existencia de una conexión directa de 2 a 3, 2 \rightarrow 3, esto es, B \rightarrow C, mientras que g_{32} = 0 corresponde a la no existencia de una conexión directa de 3 a 2, 3 \nrightarrow 2, esto es, C \nrightarrow B.
  • b) Las potencias 2 y 3 de G son: {\displaystyle 
	G^2 =
	\begin{pmatrix}
	1 & 0 & 1 & 0 \\
	0 & 1 & 0 & 1 \\
	0 & 1 & 1 & 0 \\
	1 & 0 & 1 & 1
	\end{pmatrix}
	\quad \quad
	G^3 =
	\begin{pmatrix}
	0 & 1 & 0 & 1 \\
	1 & 1 & 2 & 0 \\
	1 & 0 & 1 & 1 \\
	0 & 2 & 1 & 1
	\end{pmatrix}
	} Cada elemento g^{(2}_{ij} de G^2 indica el número de conexiones con una estación intermedia (caminos de longitud dos en el grafo) desde la estación correspondiente a i a la estación correspondiente a j, según la formalización anterior. Similarmente, cada elemento g^{(3}_{ij} de G^3 indica el número de conexiones con dos estaciones intermedias (caminos de longitud tres en el grafo) desde la estación correspondiente a i a la estación correspondiente a j, también según la formalización anterior.
  • c) Ser un grafo fuertemente conexo significa que existe un camino desde cualquier vértice a cualquier vértice. Por otro lado, dado un grafo G, con n vértices, puede saberse si existe algún camino desde el vértice i al vértice j, independientemente de la longitud, según sea el término p_{ij} de la matriz P = G + G^2 + G^3 + \cdots + G^{n-1}, ya que este da el número total de caminos desde i a j (si para algún i y j fuese p_{ij} = 0, no existiría ningún camino desde i a j y el grafo no sería fuertemente conexo).
    El grafo que nos ocupa, G, de 4 vértices, sí es fuertemente conexo porque P = G + G^2 + G^3 no tiene elementos nulos: {\displaystyle 
	P = G + G^2 + G^3
	=
	\begin{pmatrix}
	1 & 2 & 1 & 1 \\
	2 & 2 & 3 & 1 \\
	1 & 1 & 2 & 2 \\
	1 & 3 & 3 & 2
	\end{pmatrix}
	} lo que significa que dos estaciones cualesquiera están conectadas, sea directamente o indirectamente con una o dos paradas intermedias. De hecho, para este grafo particular, G^2 + G^3 tampoco tiene elementos nulos: {\displaystyle 
	G^2 + G^3
	=
	\begin{pmatrix}
	1 & 1 & 1 & 1 \\
	1 & 2 & 2 & 1 \\
	1 & 1 & 2 & 1 \\
	1 & 2 & 2 & 2
	\end{pmatrix}
	} esto es, cualesquiera dos estaciones están conectadas por trayectorias con una o dos paradas intermedias.
  • d) Notando por g_{ij}^{(k)} el término de posición (i,j) de la matriz G^{k}, observamos que g_{14} = g_{14}^{(2)} = 0 y g_{14}^{(3)} = 1, siendo este el primero distinto de cero, por lo que, camino más corto, solo hay uno y tiene dos paradas intermedias.

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Ejemplo de examen 1

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).
En la isla de los caballeros y truhanes hay dos clases de habitantes, los «caballeros», que siempre dicen la verdad y los «truhanes», que siempre mienten. Se supone que todo habitante de la isla es un caballero o un truhán. Había dos habitantes, A y B, de pie en el jardín delantero de una casa. Usted, que pasaba por allí, les preguntó: «¿Son ustedes caballeros o truhanes?»

  • a) A contestó: «Si B es un caballero, entonces yo soy un truhán». ¿Puede determinarse si A y B eran caballeros o truhanes? (1.25 p.)
  • b) Seguidamente, B dijo: «No crea a A; él miente». Con esta nueva información, ¿puede determinarse si A y B eran caballeros o truhanes? (1.25 p.)
Solución:
Usemos X en vez de «X es un caballero» ---por tanto, \neg X significa «X es un truhán»---.
  • a) La afirmación de A, «Si B es un caballero, entonces yo soy un truhán», se formaliza como B \rightarrow \neg A y el hecho de que A lo diga, como A \leftrightarrow (B \rightarrow \neg A). A la vista de la tabla de verdad: {\displaystyle 
		\begin{array}{cc|cccccc}
			A & B & A & \leftrightarrow & (B & \rightarrow & \neg & A) \\
			\hline
			1 & 1 & 1 & \mathbf{0} & 1 & 0 & 0 & 1 \\
			1 & 0 & 1 & \mathbf{1} & 0 & 1 & 0 & 1 \\
			0 & 1 & 0 & \mathbf{0} & 1 & 1 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & \mathbf{0} & 0 & 1 & 1 & 0
		\end{array}
		} el único modelo para A \leftrightarrow (B \rightarrow A) es la 2ª interpretación, por tanto puede determinarse que A es un caballero y B un truhán.
  • b) La afirmación de B, «No crea a A; él miente», es equivalente a «A es un truhán», que se formaliza como \neg A y el hecho de que B lo diga como B \leftrightarrow \neg A, que lo único que dice es que A y B no pueden ser ambos caballeros ni ambos truhanes, lo que no nos aporta nada nuevo, como era de esperar al estar ya determinado. En efecto, a la vista de la tabla de verdad: {\displaystyle 
		\begin{array}{cc|ccccccccccc}
			A & B & (A & \leftrightarrow & (B & \rightarrow & \neg & A)) & \wedge & (B & \leftrightarrow & \neg & A) \\
			\hline
			1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & \mathbf{0} & 1 & 0 & 0 & 1 \\
			1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & \mathbf{1} & 0 & 1 & 0 & 1 \\
			0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & \mathbf{0} & 1 & 1 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & \mathbf{0} & 0 & 0 & 1 & 0
		\end{array}
		} observamos que todo sigue igual, de nuevo la 2ª interpretación es un modelo, ahora para (A \leftrightarrow (B \rightarrow \neg A)) \wedge (B \leftrightarrow \neg A).

Ejemplo de examen 2

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 2. (2,5 puntos).
Sabiendo que \mathbb{Z} (enteros) es un conjunto numerable y que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable, demuestre que \mathbb{Q} (racionales) es numerable.

Solución:
\mathbb{Q} es numerable pues lo podemos expresar como la unión numerable \mathbb{Q} = A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \cup \ldots (por hipótesis, conocemos que la unión numerable de numerables es numerable), donde cada A_i = \left\lbrace 0, \frac{-1}{i}, \frac{1}{i}, \ldots, \frac{-k}{i}, \frac{k}{i}, \ldots \right\rbrace es numerable, ya que f: \mathbb{Z} \rightarrow A_i, definida por f(0) = 0 y f(\pm n) = \frac{\pm n}{i} es una biyección, por lo que A_i tiene el mismo cardinal que \mathbb{Z} (y por hipótesis, sabemos que \mathbb{Z} es numerable). Obsérvese que cada conjunto A_i representa todos los números racionales que tienen el mismo denominador i.

Cuestión 3. (2,5 puntos).
Use la teoría de relaciones de congruencias para responder.

  • a) Demuestre que 21 \cdot 2^{5n+1} - 4 \cdot 3^{3n+1} es divisible por 5, para cualquier n \in \mathbb{N}. (1.25 p.)
  • b) Calcule el resto de dividir 3^{6n+1} + 3^{2n+1} \cdot 19^{2n} - 3 entre 28, para cualquier n \in \mathbb{N}. (1.25 p.)
Solución:
Usemos la teoría de relaciones de congruencias.
  • a) Por un lado:
    {\displaystyle \left.
            \begin{align}
                2^5 = 32 &\equiv 2 \pmod{5} \\
                3^3 = 27 &\equiv 2 \pmod{5}
            \end{align}
            \right\rbrace}
    {\displaystyle \begin{align}
                &\stackrel{(i)}{\Rightarrow} &2^5 &\equiv 3^3 \pmod{5} \\
                &\stackrel{(ii)}{\Rightarrow} &2^{5n} &\equiv 3^{3n} \pmod{5}   \;\;\;\;\; {\scriptstyle(1)}
            \end{align}}
    Por otro:
    {\displaystyle \begin{align}
                &            &7 &\equiv 2 \pmod{5} \\
                &\stackrel{(iii)}{\Rightarrow} &7 \cdot 2 &\equiv 2 \cdot 2 \pmod{5} \\
                &\stackrel{(iv)}{\Rightarrow} &7 \cdot 2 \cdot 3 &\equiv 2 \cdot 2 \cdot 3 \pmod{5}   \;\;\;\;\; {\scriptstyle(2)}
            \end{align}}
    Sustituyendo (2) en (1):
    {\displaystyle \begin{align}
                &            &7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2^{5n} &\equiv 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3^{3n} \pmod{5} \\
                &            &21 \cdot 2^{5n+1} &\equiv 4 \cdot 3^{3n+1} \pmod{5}
            \end{align}}
    lo que por definición de relación de congruencia, significa que 21 \cdot 2^{5n+1} - 4 \cdot 3^{3n+1} es divisible por 5.
  • b) Por un lado:
    {\displaystyle \begin{align}
                &            &3^3 = 27 &\equiv -1 \pmod{28} \\
                &\stackrel{(v)}{\Rightarrow} &3^{6n} = \left( 3^3 \right)^{2n} &\equiv (-1)^{2n} = 1 \pmod{28} \\
                &\stackrel{(iv)}{\Rightarrow} &3^{6n+1} &\equiv 3 \pmod{28}   \;\;\;\;\; {\scriptstyle(3)}
            \end{align}}
    Por otro:
    {\displaystyle \begin{align}
                &            &57 = 3 \cdot 19 &\equiv 1 \pmod{28} \\
                &\stackrel{(v)}{\Rightarrow} &3^{2n} \cdot 19^{2n} &\equiv 1 \pmod{28} \\
                &\stackrel{(iv)}{\Rightarrow} &3^{2n+1} \cdot 19^{2n} &\equiv 3 \pmod{28}   \;\;\;\;\; {\scriptstyle(4)}
            \end{align}}
    De (3) y (4), sumando miembro a miembro:
    {\displaystyle 
			\begin{align}
				&            &3^{6n+1} + 3^{2n+1} \cdot 19^{2n} &\equiv 6 \pmod{28} \\
				&\Rightarrow &3^{6n+1} + 3^{2n+1} \cdot 19^{2n} - 3 &\equiv 3 \pmod{28}
			\end{align}
		}
    En otras palabras, el resto pedido es 3.


(i) Por simétrica y transitiva de la relación de congruencia.
(ii) Elevando a n ambos miembros.
(iii) Multiplicando por 2 ambos miembros.
(iv) Multiplicando por 3 cada miembro.
(v) Elevando a 2n cada miembro.


Cuestión 5. (2,5 puntos).
Emplee un razonamiento combinatorio para responder.

  • a) Un número es capicúa si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. En base diez, ¿cuántos números de siete cifras son capicúas? (1.25 p.)
  • b) Supongamos una red en forma de polígono de n nodos (vértices). Calcule n, sabiendo que el número de aristas (lados + diagonales) es 253. (1.25 p.)
Solución:
  • a) Un número capicúa de siete cifras es de la forma abcdcba, con a \neq 0. Para a, hay 9 posibilidades, para b, 10, para c, 10 y para d, otras 10. Por el principio multiplicativo, en total: 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000.
  • b) Siendo n el número de nodos, el número de aristas es el número de subconjuntos de dos elementos (cada arista al unir dos nodos, puede abstraerse como un subconjunto de dos elementos) de un conjunto de n elementos (los n nodos), esto es, por definición de combinación, \binom{n}{2}. Entonces: \binom{n}{2} = 253 \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} = 253 \Rightarrow n = -22 \vee n = 23. Por tanto, n = 23.

Lógica


Para saber más:

  1. The Logic Portal (portal Lógica) (en inglés)
  2. The Thinking Portal (portal Pensamiento) (en inglés)
  3. Y más:
    1. Forma normal prenexa
    2. Outline of logic (temas lógicos) (en inglés)
    3. Conceptos en lógica
    4. Álgebra de Boole
    5. Puertas lógicas
    6. WikiProject Logic
    7. (wikiproyecto Lógica) (en inglés)
    8. Lógica (categoría de Wikipedia)
    9. Lógica matemática (categoría de Wikipedia)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Secciones 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 3.1 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Capítulo 1 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Software

Véase también

En español:

En inglés:

  • KDEM.DA.HD.703-01.pdf (download) (matching tables for corresponding exercises from the 5th, 6th, 7th and 7th global editions of Rosen's book Discrete mathematics and its applications, Chapter 1 on The Foundations: Logic and Proofs)

---

Cardinalidad


Para saber más:

  1. The Set Theory Portal
  2. (portal de teoría de conjuntos) (en inglés)
  3. Y más:
    1. Teoría de conjuntos (categoría de Wikipedia)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Secciones 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 5.1, 5.2, 5.3, Capítulo 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Véase también

Teoría de números

Divisibilidad

Primos

Ecuaciones diofánticas, sistemas de ecuaciones diofánticas y sobre sus soluciones

Aritmética modular

Ecuaciones en congruencias, sistemas de ecuaciones en congruencias y sobre sus soluciones

Criptografía


Para saber más:

  1. The Number Theory Portal
  2. (portal de teoría de números) (en inglés)
  3. The Cryptography Portal
  4. (portal de criptografía) (en inglés)
  5. Y más:
    1. Divisibilidad
      1. Algorithms for division (algoritmos para la división) (en inglés)
    2. Primalidad
      1. Residuos cuadráticos
      2. Ley de reciprocidad cuadrática
      3. Tests de primalidad
    3. Generación de números pseudoaleatorios
      1. Linear congruential generators (generadores basados en congruencias lineales) (en inglés)
      2. Combined linear congruential generators (combinaciones de generadores basados en congruencias lineales) (en inglés)
      3. Inversive congruential generator (generador «inversivo» basado en congruencias) (no lineal) (en inglés)
      4. Generalized inversive congruential pseudorandom numbers (no lineal) (generador «inversivo» basado en congruencias generalizado) (en inglés)
      5. List of random number generators (lista de generadores de números aleatorios) (en inglés)
    4. Criptografía
      1. Highly totient numbers (en inglés)
      2. Números altamente compuestos (Platón, Ramanujan)
      3. Números lisos (Adleman)
      4. Finch's rough numbers (números toscos) (en inglés)
      5. Semiprimos
      6. Criptografía de curva elíptica
    5. List of prime numbers (lista de números primos) (en inglés)
    6. List of notable numbers (lista de números notables) (en inglés)
    7. Portal: Number theory (en inglés)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 2. Anillos - Polinomios - Ecuaciones. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 7 «Divisibilidad en \mathbb{N} y \mathbb{Z}», 94 ejercicios resueltos; Capítulo 8 «Ecuaciones diofánticas», 27 ejercicios resueltos; Capítulo 9 «Sistemas de numeración», 25 ejercicios resueltos), 1982. ISBN: 84-300-6417-6.
  • —¤— Francisco José González Gutiérrez. Apuntes de matemática discreta. 12. Ecuaciones diofánticas. Universidad de Cádiz, Cádiz, España, 2004. http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf
  • —¤— Francisco José González Gutiérrez. Apuntes de matemática discreta. 13. Clases de restos módulo m. Universidad de Cádiz, Cádiz, España, 2004. http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1710003/Apuntes/Leccion13.pdf
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Secciones 2.4, 2.5, 2.6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

  • —¤— Thomas Koshy. Elementary number theory with applications. Academic Press (marca de Elsevier Inc.), Nueva York, Estados Unidos, 2ª edición, 2007, ISBN: 978-0-12-372487-8
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7th edition. (Capítulo 4 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
  • Kenneth A. Rosen. Elementary number theory and its applications. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, Estados Unidos, 1986, ISBN 0-201-06561

Véase también

Análisis numérico


Para saber más:

  1. The Analysis Portal
  2. (portal de análisis) (en inglés)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

En inglés:

Teoría combinatoria


Para saber más:

  1. The Discrete Mathematics Portal (portal de matemática discreta) (en inglés)
  2. Y más:
    1. Números de Catalan
    2. Funciones generatrices
    3. Ejemplos de funciones generatrices
    4. Combinatoria enumerativa (categoría en Wikipedia)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 8 «Combinatoria», 31 ejercicios resueltos), 1981. ISBN: 84-300-4073-0.
  • L. Barrios Calmaestra. Combinatoria. En: Proyecto Descartes. Ministerio de Educación. Gobierno de España. 2007. (Acceso abierto). http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/combinatoria.htm
  • M. Delgado Pineda. Material de «Curso 0: Matemáticas». Parte: Combinatoria: Variaciones, Permutaciones y Combinaciones. Potencias de un binomio. OCW UNED. (Teoría y ejercicios). 2010. (CC by-nc-nd). http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema5.pdf
  • I. Espejo Miranda, F. Fernández Palacín, M. A. López Sánchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sánchez Navas and C. Valero Franco. Estadística Descriptiva y Probabilidad. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz (Apéndice 1: Combinatoria). 2006. (GNU FDL). http://knuth.uca.es/repos/l_edyp/pdf/febrero06/lib_edyp.apendices.pdf
  • —¤— José Ramón Franco Brañas, María Candelaria Espinel Febles y Pedro Ramón Almeida Benítez. Manual de combinatoria. @becedario, Badajoz, España, 2008. ISBN: 978-84-96560-73-4
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Capítulos 4 y 6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

  • —¤— Kenneth P. Bogart. Combinatorics through guided discovery. 2004. https://math.dartmouth.edu/news-resources/electronic/kpbogart/
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Capítulos 6 y 8 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Véase también

Relaciones recurrentes


Para saber más:

  1. Sucesiones de números enteros
  2. List of OEIS sequences (lista de sucesiones de enteros en la OEIS que tienen su propia entrada en la Wikipedia en inglés) (en inglés)
  3. Index to OEIS: Section Recurrent Sequencies

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

En inglés:

  • Richard Johnsonbaugh. Discrete mathematics. 6ª edición. (Capítulo 7 y ejercicios correspondientes). Prentice Hall Inc., Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2005, ISBN 0-13-117686-2
  • —¤— Eric Lehman, F. Thomson Leighton, Albert R. Meyer. Mathematics for Computer Science. (Capítulo V). 2017 (2 de mayo). CC BY-SA. https://courses.csail.mit.edu/6.042/spring17/mcs.pdf
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Capítulos 5 y 8 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
  • Wikibooks contributors. Discrete Mathematics/Recursion. Wikibooks. https://en.wikibooks.org/wiki/Discrete_Mathematics/Recursion

Estructuras algebraicas


Para saber más:

  1. The Discrete Mathematics Portal (portal de matemática discreta) (en inglés)
  2. Y más:
    1. Grupo simétrico
    2. Multiplicative group of integers modulo n (grupo multiplicativo de enteros módulo n) (en inglés)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 9 «Operaciones», 24 ejercicios resueltos; Capítulo 10 «Grupos-Estructura», 154 ejercicios resueltos), 1981. ISBN: 84-300-4073-0.
  • —¤— Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 2. Anillos - Polinomios - Ecuaciones. 3ª edición. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 1 «Estructura de anillo», 40 ejercicios resueltos; Capítulo 4 «Estructura de cuerpo», 32 ejercicios resueltos), 1982. ISBN: 84-300-6417-6.
  • Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla. Álgebra básica. Notas de teoría. http://www.algebra.us.es/Documentos/AB_1011_Teoria
  • —¤— José García García y Manuel López Pellicer. Álgebra lineal y geometría. Curso teórico-práctico. 7ª edición. Marfil, Alcoy, España. ISBN: 84-268-0269-9.
  • —¤— RTVE (): «La aventura del saber». Serie: «Más por menos». Capítulo: «La geometría se hace arte» (Guión + presentación = Antonio Pérez) (Minuto 5,22, la Alhambra, sus mosaicos y la teoría de grupos; recomendación: ver el capítulo completo). © gratisOA. Disponible en: http://www.rtve.es/alacarta/videos/mas-por-menos/aventura-del-saber-serie-mas-menos-geometria-se-hace-arte/1291007/

En inglés:

Grafos, árboles y redes


Para saber más:

  1. The Discrete Mathematics Portal (portal de matemática discreta) (en inglés)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Capítulos 8 y 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7
  • —¤— Universitat Politècnica de València (UPV). Aplicaciones de la teoría de grafos a la vida real. © gratis OA. https://www.youtube.com/playlist?list=PL6kQim6ljTJu44dsVeZifHHiuDC1MEZ7q

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Capítulos 10 y 11 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Píldoras complementarias de conocimiento

Conjeturas, problemas abiertos e imaginación

Historia

Paradojas

Minihackatones (miniencuentros intensivos de aprendizaje en colaboración) / Minihackathons (intensive collaborative learning meetings)

Plantillas

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Véase también

Enlaces externos

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