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Epistemowikia
Revista hiperenciclopédica libre y abierta
Tercera Época, Año XII
Vol. 11, Núm. 2: de abril a junio de 2017
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Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Matemática discreta y numérica

De Epistemowikia
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Matemática discreta y numérica
Proyecto de aprendizaje libre.
(Libre en el sentido de Freedomdefined).

Fundamentos

  • Lógica
  • Conjuntos[TT], relaciones[TT] y funciones[TT]
  • Cardinalidad
  • Sucesiones[TT] y sumas[TT]
  • Matrices[TT]

Números y sobre números

  • Algoritmos[TT]
  • Teoría de números
  • Inducción[TT] y recursión[TT]
  • Verificación[TT]
  • Computabilidad[TT]
  • Álgebra y cálculo numéricos

Contando, recontando e infiriendo discreta y fundamentadamente

  • Teoría combinatoria
  • Probabilidad discreta[TT]
  • Relaciones recurrentes
  • Procesos estocásticos[TT]

Visualizando relaciones: grafos, árboles y redes

  • Estructuras algebraicas[TT]
  • Grafos
  • Árboles
  • Redes
  • Teoría de juegos[TT]
  • Optimización[TT]
[TT] = Tema transversal.
La Escuela Politécnica de la Universidad de Extremadura en el Campus de Cáceres, Extremadura, España.


La comunidad de aprendizaje del curso «Ampliación de Matemáticas», de la Escuela Politécnica de Cáceres, pretende contribuir a Wikipedia en español vía este proyecto educativo.

Contenido

Justificación

Con este proyecto, pretendo contribuir a que lo conocido como evaluación deje de ser un mero instrumento de medida del grado de asimilación de los contenidos, convirtiéndose en una experiencia formativa, capaz de sacar a la luz, capacidades, habilidades, actitudes y valores inherentes o reforzados o adquiridos durante el proceso de aprendizaje, a la vez que pone a prueba las facultades de comprensión, la aptitud para las labores prácticas y la creatividad, reforzando la capacidad de asunción de responsabilidades sociales y las competencias interpersonal y cívica. En particular, los principales elementos relacionados con el aprendizaje que se refuerzan son:

  • Aprendizaje entre iguales
  • Compartir y dar
  • Competencia para la investigación
  • Competencias técnica y de comunicación
  • Cooperar y colaborar
  • Pensamiento crítico
  • Resolución colaborativa de problemas
  • Responsabilidad individual
  • Socialización
  • Trabajo y procesamiento en equipo
  • Transferencia de conocimiento a la sociedad

Esquema de trabajo

Tipo y número mínimo de contribuciones

Se trata de realizar un mínimo de cuatro contribuciones mayores en Wikipedia, relacionadas con la matemática discreta y numérica, un mínimo de una por cada una de los cuatro temas de cabecera: «Fundamentos», «Números y sobre números», «Contando, recontando e infiriendo discreta y fundamentadamente» y «Visualizando relaciones: grafos, árboles y redes».

Cada una de estas contribuciones puede centrarse en una o varias de las siguientes actividades:

  1. Contribución a páginas existentes en Wikipedia.
    Una vez localizado uno o más artículos existentes de nuestro interés, centraríamos nuestra contribución en una o varias de las siguientes actividades y objetivos:
    1. Ampliar y mejorar artículos.
    2. Análisis crítico de artículos existentes (en la página de discusión de los mismos).
      (Respétese lo indicado por la de Wikipedia comunidad de Wikipedia en español en la página de ayuda sobre cómo usar páginas de discusión y en las convenciones sobre páginas de discusión).
    3. Añadir aplicaciones teóricas y prácticas y casos de uso (en particular en el ámbito de Ciencia, Tecnología y Sociedad [CTS]).
    4. Añadir ejemplos y supuestos prácticos.
    5. Añadir notas, referencias, bibliografía, enlaces internos, enlaces externos y contenido multimedia (fotos, ilustraciones, vídeos).
    6. Corrección conceptual.
    7. Corrección de estilo.
    8. Lograr la mención de artículo de calidad.
      (Véase qué considera la comunidad de Wikipedia en español un artículo bueno y un artículo destacado).
    9. Traducción de artículos.
      (Respétese lo indicado por la comunidad de Wikipedia en español en la página de ayuda sobre cómo traducir un artículo).
  2. Crear artículos nuevos.
    (Una vez elegido el tema y revisados los contenidos relativos ya existentes en la Wikipedia en español, podríamos optar por la creación de un nuevo artículo. Respétese lo indicado por la comunidad de Wikipedia en español en la página de ayuda sobre cómo empezar una página, la que, además, como colofón, pone a nuestra disposición un asistente para la creación de artículos).

En todos los casos, respétese lo indicado por la comunidad de Wikipedia en español en la página de ayuda sobre cómo escribir mejores artículos (la cual, en particular, incluye enlaces directos a la página de ayuda sobre cómo se edita una página y al manual de estilo).

Fechas

  • Lunes, 6 de febrero de 2017: Inicio de la componente académica para el 2º semestre del curso 2016-2017.
  • Jueves, 16 de febrero de 2017: Haberte registrado en Epistemowikia, si aún no lo estabas y haberte familiarizado con la edición (para lo que puedes partir de su página de ayuda).
  • Martes, 21 de febrero de 2017: Haberte registrado en Wikipedia en español si aún no lo estabas y haber elegido los artículos de los que te haces responsable.
Si bien, desde el momento que lo tengas todo claro, puedes apuntarte también a la lista de participantes en la Wikipedia en español y trabajar directamente en ella.
  • Jueves, 6 de abril de 2017: Haber publicado, de manera continua, la parte pública de un primer autoinforme sobre lo desarrollado hasta el momento, en tu cuaderno de bitácora y en la página de contribuciones del proyecto.
  • Jueves, 11 de mayo de 2017: Haber publicado, de manera continua, la parte pública del autoinforme sobre todo tu trabajo, en tu cuaderno de bitácora y en la página de contribuciones del proyecto.
  • Viernes, 19 de mayo de 2017: Finalización de la componente académica para el 2º semestre del curso 2016-2017.
  • Importante: No está de más recordar que tanto Epistemowikia como Wikipedia son sitios wiki públicos, libres y abiertos, por lo que fuera de este rango de fechas, debido a tal naturaleza, el proyecto sigue abierto.

Deberes dinámicos

Mientras el proyecto esté activo, cada estudiante deberá:

  • desarrollar todas sus contribuciones atendiendo a los criterios de calidad de Wikipedia en español;
  • estar atento y atender todos los comentarios, ediciones y aportes a sus contribuciones;
  • actualizar su cuaderno de bitácora según lo que vaya contribuyendo;
  • colaborar con el resto de los estudiantes, leyendo y revisando sus trabajos y ayudándoles en todo lo que le sea posible.

Comienzo en Epistemowikia

Utilizamos Epistemowikia para desarrollar las contribuciones principales hasta alcanzar los estándares mínimos de publicación requeridos en Wikipedia en español.

Algo de lo que aquí se menciona en relación a Epistemowikia es común para Wikipedia y aún más, mucho es similar.

  1. Para contribuir, necesitas registrarte.
    1. Primero, crea una cuenta.
    2. A continuación, debes confirmar tu dirección de correo; para ello, accede con tu usuario y contraseña a Epistemowikia, ve a tus preferencias personales y sigue las indicaciones. De esta manera, todas tus ediciones serán atribuidas a tu nombre de usuario, además de disponer de otras ventajas.
  2. Puedes modificar, según tu agrado, tus preferencias.
  3. En tus preferencias personales, debes activar las tres opciones siguientes:
    [X] Aceptar correo electrónico de otros usuarios
  4. [X] Enviarme un correo electrónico cuando se modifique una página o un archivo de mi lista de seguimiento
    [X] Enviarme un mensaje de correo electrónico cuando se modifique mi página de discusión
  5. La lista de todas las páginas que sigues aparece aquí. Debes incluir los foros de la asignatura en dicha lista. Para ello, edita tu lista de seguimiento en crudo e incluye los siguientes nombres de páginas de Epistemowikia:
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Noticias, Actualidad y Ocio - News, Current Events and Leisure
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Cafetería - Cafe
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Foro AM-FM - Forum AM-FM
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Metodología-Evaluación - Methodology-Assessment
    Epistemowikia:Plan de aprendizaje/Ampliación de Matemáticas - Further Mathematics/Actividades/Foros/Trabajos Fin de Asignatura - Term papers
    Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Matemática discreta y numérica
    Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Discrete and numerical mathematics
    De este modo, al tener activada la opción de «Enviarme un correo electrónico cuando se modifique una página o un archivo de mi lista de seguimiento», recibirás un correo electrónico cada vez que se envíe un mensaje a cualquiera de estos foros.
    Nota: En cualquier momento puedes añadir una página a tu lista de seguimiento pulsando la estrella que aparece al lado de la pestaña «Ver historial».
  6. Incorpórate como participante en el proyecto, en Epistemowikia, junto a los demás, en la subpágina dedicada del mismo: Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Matemática discreta y numérica/Participantes
  7. Muestra tus principales contribuciones al proyecto, en Epistemowikia, junto a las de los demás, en la subpágina común dedicada del mismo: Epistemowikia:Proyecto de aprendizaje/Matemática discreta y numérica/Contribuciones
  8. Cualquier persona puede ver la lista de todas tus contribuciones en Especial:Contribuciones. Aunque de esa forma podría hacerse un seguimiento de tu dedicación a este proyecto de aprendizaje, es mejor que destaques tus contribuciones mayores en una página dedicada. Esta deberá ser una subpágina de tu página de usuario, que te servirá así, como cuaderno de bitácora en la que quedará registro público, abierto y libre de tu actividad relacionada con el proyecto (básicamente lo terminado, lo que está en desarrollo y lo que falta hasta por empezar, con referencias a fechas de cumplimiento de las tareas). La creación de dicha subpágina es sencilla, basta que navegues a la siguiente dirección, sustituyendo minombredeusuario por tu nombre de usuario:
    http://cala.unex.es/cala/epistemowikia/index.php/Usuario:minombredeusuario/Cuaderno_de_bitácora
  9. Aunque Epistemowikia tiene una página de prácticas, es razonable que tengas una propia tuya:
    http://cala.unex.es/cala/epistemowikia/index.php/Usuario:minombredeusuario/arenero
  10. Importante:
    1. En Epistemowikia, por defecto, las fórmulas matemáticas se representan con MathML (vía un servidor Mathoid de terceros). Si en alguna ocasión genera error, id a vuestra página de preferencias de apariencia y temporalmente (o no, según prefiráis) cambiad la representación de la Matemática a PNG (la primera de las opciones).
    2. Si lo que habéis hecho es una edición menor, marcad la casilla correspondiente. Así, a la comunidad, le indicas que es una modificación no sustancial y que bien pueden no revisarla; además, produces una carga mínima en la base de datos.

En la Wikipedia en español

Todo lo anterior, aunque puede derivar en paralelo, por ejemplo por aplicación del punto de vista sociable en ciertas contribuciones, ha servido de entrenamiento para contribuir de manera efectiva a la Wikipedia en español.

  • Crea una cuenta en la Wikipedia en español, si no la tienes ya.
  • A continuación, debes confirmar tu dirección de correo; para ello, accede con tu usuario y contraseña a Wikipedia en español, ve a tus preferencias personales y sigue las indicaciones. De esta manera, todas tus ediciones serán atribuidas a tu nombre de usuario, además de disponer de otras ventajas.
  • Puedes modificar, según tu agrado, tus preferencias. Por ejemplo, en tus preferencias personales, debes activar las dos opciones siguientes:
    • [X] Aceptar correo electrónico de otros usuarios
    • [X] Enviarme un correo electrónico cuando se modifique una página en mi lista de seguimiento
  • La lista de todas las páginas que sigues aparece aquí.
  • Incorpórate como participante en el proyecto, en Wikipedia en español, en la subpágina dedicada del mismo: Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Participantes
  • Muestra tus principales contribuciones al proyecto, en Wikipedia en español, en la subpágina dedicada del mismo: Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica/Contribuciones
  • Cualquier persona puede ver la lista de todas tus contribuciones aquí. Aunque de esa forma podría hacerse un seguimiento de tu dedicación a este proyecto de aprendizaje, es mejor que destaques tus contribuciones mayores en una página dedicada. Esta deberá ser una subpágina de tu página de usuario, que te servirá así, como cuaderno de bitácora en la que quedará registro público, abierto y libre de tu actividad relacionada con el proyecto (básicamente lo terminado, lo que está en desarrollo y lo que falta hasta por empezar, con referencias a fechas de cumplimiento de las tareas). La creación de dicha subpágina es sencilla, basta que navegues a la siguiente dirección, sustituyendo minombredeusuario por tu nombre de usuario: https://es.wikipedia.org/wiki/Usuario:minombredeusuario/Cuaderno_de_bitácora (ésta, precisamente, es la página que aloja tu autoinforme).
  • Tu página de prácticas, por defecto, es la subpágina Taller de tu página de usuario.
  • Si lo que has hecho es una edición menor, marca la casilla correspondiente. Así, a la comunidad, le indicas que es una modificación no sustancial y que bien pueden no revisarla; además, produces una carga mínima en la base de datos.
  • Si vas a crear un artículo y no sabes muy bien cómo, podrías usar el asistente para la creación de artículos .
  • Recuerda, la página del proyecto en la Wikipedia en español es: Wikipedia:Proyecto educativo/Matemática discreta y numérica.

Autoinforme

En todos los casos, cada estudiante debe escribir, de manera continua, a la par que las hace, un autoinforme de todas las contribuciones realizadas, en su cuaderno de bitácora, justificando la relación con los cuatro temas de cabecera considerados.

Dicho autoinforme constará de una parte privada y otra pública.

Parte privada:

Estudiante (nombre y apellidos): __________
Contribuyente en la Wikipedia en español (nombre de usuario y localizador URL de su página de usuario): __________
Valoración global de toda la contribución realizada: __________

Parte pública, libre y abierta (quedará una copia en Epistemowikia): __________

Contribuyente en la Wikipedia en español (nombre de usuario y localizador URL de su página de usuario): __________
Contribuciones mayores en la Wikipedia en español (títulos de los artículos y sus localizadores URL): __________
Otras contribuciones en la Wikipedia en español: __________
Resumen global de toda la contribución realizada y justificación de su relación con los cuatro temas de cabecera considerados: __________

Plan de aprendizaje universitario sobre matemática discreta y análisis numérico: caminos de aprendizaje en Wikipedia

Consideraciones

Ejemplos de examen y algunas soluciones

Nota importante: En un examen pueden plantearse cuestiones sobre cualquiera de los diferentes temas trabajados en clase, teóricas (incluyendo demostraciones vistas de teoremas) o prácticas. En ningún caso, la concreción de las cuestiones que aparecen en los ejemplos siguientes implica un recorte de los contenidos a estudiar.

Parte 1: Temas 1 y 2

Ejemplo de examen, 1

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).
Con la ayuda de la lógica proposicional, demuestre si el siguiente argumento es o no válido: «Este programa compilará siempre que hayamos declarado las variables. Eso sí, declararemos las variables precisamente si no se nos olvida hacerlo. Resulta que el programa no ha compilado. Entonces es que hemos olvidado declarar las variables».
Importante: No lo haga por el método de las tablas de verdad.

Solución:
Puede consultarse la solución completa mediante tablas semánticas de un ejemplo tipo en este documento.

Cuestión 2. (2,5 puntos).

  • a) Proponga tres conjuntos , y , tales que , y . (0,5 puntos).
  • b) Según una encuesta realizada a un determinado grupo de estudiantes, ellos, ante dos asignaturas igualmente interesantes por sus contenidos, prefieren una a otra si el tiempo dedicado a su estudio es menor y prevén obtener una calificación mayor en el examen. En el caso de igualdad de tiempos y de previsiones, les son indiferentes. Estudie las propiedades de esta relación binaria. (2 puntos).

Cuestión 3. (2,5 puntos).
Halle un posible término general de la sucesión utilizando la interpolación polinomial de Newton en diferencias divididas.


Cuestión 4. (2,5 puntos).
En base , halle las cifras para que el número sea divisible por .

Solución:
.

Un número es divisible por precisamente si lo es la suma de sus cifras:

esto es:
Además:
por lo que:
Hallamos, por tanto, qué diferencias satisfacen pertenecer a :
por lo que pueden suceder situaciones posibles:

Un número es divisible por precisamente si la suma de las cifras de lugar par menos la suma de las cifras de lugar impar es divisible entre :

esto es:
Además:
por lo que:
Hallamos, por tanto, qué diferencias satisfacen pertenecer a :
por lo que pueden suceder situaciones posibles:

Tenemos, entonces situaciones posibles:

Cuadro de posibles situaciones
Λ









No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
Sí:  sí son cifras
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10










No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
Sí:  sí son cifras
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
Sí:  sí son cifras
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10
No:  no es una cifra
en base 10

Luego hay tres posibles soluciones: .

Así, los números posibles son: ,

divisibles entre , siendo sus cocientes respectivos: .


Ejemplo de examen, 2

Tiempo máximo: 2 horas.

Cuestión 1. (2,5 puntos).

  • a) Defina conjunto adecuado de conectivas (cac), también llamado conjunto completamente expresivo o funcionalmente completo de conectivas.
  • b) Proporcione dos ejemplos de cac de cardinal dos, razonando por qué lo son, suponiendo conocido el cac de las cinco conectivas más usuales .
Solución:
  • a) En Lógica Proposicional, un conjunto adecuado de conectivas (cac) es cualquier conjunto de conectivas tal que todas las conectivas de la lógica puedan representarse en función, únicamente, de las del conjunto.
  • b) Como dice el enunciado de la cuestión, suponemos conocido que el conjunto de las conectivas más usuales, es un cac. Dos ejemplos, de cardinal dos, de cac son los conjuntos y . En efecto, y para su demostración basta ver que de las cinco conectivas del cac conocido, las que faltan en cada uno de los cac de cardinal dos pueden representarse solamente con ellas:

Cuestión 2. (2,5 puntos).
Demuestre, por definición, que es un conjunto infinito.

Solución:
Un conjunto es infinito precisamente si existe una biyección entre él y un subconjunto propio suyo (definición de Dedekind). Sea, por ejemplo, , definida por . Veamos que es una aplicación biyectiva. En efecto:
  • es aplicación , lo cual es trivial, ya que dado , por definición de , existe , siendo este único para cada , es decir, que si , por definición de , ;
  • es inyectiva , lo cual es trivial por definición de , pues si , es decir, si , entonces, ;
  • es sobreyectiva , lo cual también es trivial por definición de , ya que dado , es tal que .

Cuestión 3. (2,5 puntos).
Abigail quiere enviar a Balbina el mensaje más simple de llamada: eh. Solo puede transmitir números. Abigail y Balbina usan la posición de las letras en el alfabeto para codificarlas (así, Abigail codifica e como 06 y h como 08). Para cifrar y descifrar el mensaje, utilizarán RSA. Si Abigail elige como base para RSA, los primos y :

  • a) póngase en el papel de Abigail y obtenga el mensaje cifrado que debe enviar a Balbina;
  • b) póngase en el papel de Balbina y descifre el mensaje cifrado que Abigail le ha enviado.

Cuestión 4. (2,5 puntos).
Una empresa gastó euros en dispositivos electrónicos, algunos de última generación y máximas prestaciones. Compró teléfonos inteligentes a euros, tabletas a y portátiles a . ¿Cuántos dispositivos compró de cada clase? Encuentre la solución utilizando la teoría de las ecuaciones:

  • a) diofánticas;
  • b) en congruencias.


Parte 2: Temas 3 y 4

Tiempo máximo: 2 horas.

Ejemplo 1

Cuestión 1. (2,5 puntos).
...


Cuestión 2. (2,5 puntos).
...


Cuestión 3. (2,5 puntos).
..


Cuestión 4. (2,5 puntos).
...

Lógica


Para saber más:

  1. The Logic Portal (portal Lógica) (en inglés)
  2. The Thinking Portal (portal Pensamiento) (en inglés)
  3. Y más:
    1. Forma normal prenexa
    2. Outline of logic (temas lógicos) (en inglés)
    3. Conceptos en lógica
    4. Álgebra de Boole
    5. Puertas lógicas
    6. WikiProject Logic
    7. (wikiproyecto Lógica) (en inglés)
    8. Lógica (categoría de Wikipedia)
    9. Lógica matemática (categoría de Wikipedia)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Secciones 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 3.1 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Capítulo 1 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Software

Véase también

En español:

En inglés:

  • KDEM.DA.HD.703-01.pdf (download) (matching tables for corresponding exercises from the 5th, 6th, 7th and 7th global editions of Rosen's book Discrete mathematics and its applications, Chapter 1 on The Foundations: Logic and Proofs)

---

Cardinalidad


Para saber más:

  1. The Set Theory Portal
  2. (portal de teoría de conjuntos) (en inglés)
  3. Y más:
    1. Teoría de conjuntos (categoría de Wikipedia)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

En inglés:

  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Secciones 2.1, 2.2, 2.3, 2.5, 5.1, 5.2, 5.3, Capítulo 9 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Véase también

Teoría de números

Divisibilidad

Primos

Ecuaciones diofánticas, sistemas de ecuaciones diofánticas y sobre sus soluciones

Aritmética modular

Ecuaciones en congruencias, sistemas de ecuaciones en congruencias y sobre sus soluciones

Criptografía


Para saber más:

  1. The Number Theory Portal
  2. (portal de teoría de números) (en inglés)
  3. The Cryptography Portal
  4. (portal de criptografía) (en inglés)
  5. Y más:
    1. Divisibilidad
      1. Algorithms for division (algoritmos para la división) (en inglés)
    2. Primalidad
      1. Residuos cuadráticos
      2. Ley de reciprocidad cuadrática
      3. Tests de primalidad
    3. Generación de números pseudoaleatorios
      1. Linear congruential generators (generadores basados en congruencias lineales) (en inglés)
      2. Combined linear congruential generators (combinaciones de generadores basados en congruencias lineales) (en inglés)
      3. Inversive congruential generator (generador «inversivo» basado en congruencias) (no lineal) (en inglés)
      4. Generalized inversive congruential pseudorandom numbers (no lineal) (generador «inversivo» basado en congruencias generalizado) (en inglés)
      5. List of random number generators (lista de generadores de números aleatorios) (en inglés)
    4. Criptografía
      1. Highly totient numbers (en inglés)
      2. Números altamente compuestos (Platón, Ramanujan)
      3. Números lisos (Adleman)
      4. Finch's rough numbers (números toscos) (en inglés)
      5. Semiprimos
      6. Criptografía de curva elíptica
    5. List of prime numbers (lista de números primos) (en inglés)
    6. List of notable numbers (lista de números notables) (en inglés)
    7. Portal: Number theory (en inglés)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

En inglés:

  • —¤— Thomas Koshy. Elementary number theory with applications. Academic Press (marca de Elsevier Inc.), Nueva York, Estados Unidos, 2ª edición, 2007, ISBN: 978-0-12-372487-8
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7th edition. (Capítulo 4 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5
  • Kenneth A. Rosen. Elementary number theory and its applications. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, Estados Unidos, 1986, ISBN 0-201-06561

Véase también

Análisis numérico


Para saber más:

  1. The Analysis Portal
  2. (portal de análisis) (en inglés)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

En inglés:

Teoría combinatoria


Para saber más:

  1. The Discrete Mathematics Portal (portal de matemática discreta) (en inglés)
  2. Y más:
    1. Números de Catalan
    2. Funciones generatrices
    3. Ejemplos de funciones generatrices
    4. Combinatoria enumerativa (categoría en Wikipedia)

Bibliografía: teoría y ejercicios, propuestos y resueltos

En español:

  • Máximo Anzola y José Caruncho. Problemas de Álgebra. Tomo 1. Conjuntos-Grupos. Primer Ciclo, Madrid, España. (Capítulo 8 «Combinatoria», 31 problemas resueltos), 1981.
  • L. Barrios Calmaestra. Combinatoria. En: Proyecto Descartes. Ministerio de Educación. Gobierno de España. 2007. (Acceso abierto). http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/combinatoria.htm
  • M. Delgado Pineda. Material de «Curso 0: Matemáticas». Parte: Combinatoria: Variaciones, Permutaciones y Combinaciones. Potencias de un binomio. OCW UNED. (Teoría y ejercicios). 2010. (CC by-nc-nd). http://ocw.innova.uned.es/matematicas-industriales/contenidos/pdf/tema5.pdf
  • I. Espejo Miranda, F. Fernández Palacín, M. A. López Sánchez, M. Muñoz Márquez, A. M. Rodríguez Chía, A. Sánchez Navas and C. Valero Franco. Estadística Descriptiva y Probabilidad. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz (Apéndice 1: Combinatoria). 2006. (GNU FDL). http://knuth.uca.es/repos/l_edyp/pdf/febrero06/lib_edyp.apendices.pdf
  • —¤— José Ramón Franco Brañas, María Candelaria Espinel Febles y Pedro Ramón Almeida Benítez. Manual de combinatoria. @becedario, Badajoz, España, 2008. ISBN: 978-84-96560-73-4
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones. 5ª edición. (Capítulos 4 y 6 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill/Interamericana de España, S.A.U., Aravaca (Madrid), Madrid, España, 2004, ISBN 84-481-4073-7

En inglés:

  • —¤— Kenneth P. Bogart. Combinatorics through guided discovery. 2004. https://math.dartmouth.edu/news-resources/electronic/kpbogart/
  • —¤— Kenneth A. Rosen. Discrete mathematics and its applications. 7ª edición. (Capítulos 6 y 8 y ejercicios correspondientes). McGraw-Hill, Nueva York, Nueva York, Estados Unidos, 2012, ISBN 978-0-07-338309-5

Véase también

Relaciones recurrentes


Para saber más:

  1. Sucesiones de números enteros
  2. List of OEIS sequences (lista de sucesiones de enteros en la OEIS que tienen su propia entrada en la Wikipedia en inglés) (en inglés)

Estructuras algebraicas

Para saber más:

  1. The Discrete Mathematics Portal (portal de matemática discreta) (en inglés)
  2. Y más:
    1. Grupo simétrico
    2. Multiplicative group of integers modulo n (grupo multiplicativo de enteros módulo n) (en inglés)

Grafos, árboles y redes


Para saber más:

  1. The Discrete Mathematics Portal (portal de matemática discreta) (en inglés)

Píldoras complementarias de conocimiento

Conjeturas, problemas abiertos e imaginación

Historia

Paradojas

Minihackatones (miniencuentros intensivos de aprendizaje en colaboración) / Minihackathons (intensive collaborative learning meetings)

Plantillas

La plantilla {{proyecto de aprendizaje}} se incluirá como primera línea de todo artículo que se cree en Epistemowikia. En el momento de su traslado a la Wikipedia en español, se sustituirá por {{proyecto educativo}}.


Véase también

Enlaces externos

Para saber más o escribir algún comentario

Pueden dejarse en: