Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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Axiomas de Peano

De Epistemowikia

Aunque Richard Dedekind intentó fundamentar los números naturales, basándose en las ideas de la teoría de conjuntos que por aquél tiempo desarrollaba George Cantor, no fue sino Giuseppe Peano (1858-1932), en 1889, quien proporcionó una definición axiomática del conjunto de números naturales. Lo hizo mediante cinco axiomas, utilizando tres conceptos primitivos, «cero», «número» (número natural o entero no negativo) y la relación binaria «ser sucesor de» (o «siguiente a»):

Definición 1.1.- (Definición axiomática original de ℕ de Peano)

  1. 0∈ℕ (cero es un número);
  2. (∀a∈ℕ) (suc(a)∈ℕ) (si a es un número, entonces el sucesor de a también es un número);
  3. (∀a∈ℕ) (suc(a)≠0) (cero no es el sucesor de ningún número);
  4. (∀a,b∈ℕ) (suc(a)=suc(b)→a=b) (si los sucesores de dos números son iguales, entonces los números mismos son iguales);
  5. [(S⊆ℕ)∧(0∈S)∧(∀aS)(suc(a)∈S)]→(∀a∈ℕ) (aS); esto es, S=ℕ (si un conjunto de números S contiene al cero y también al sucesor de cualquier número que pertenezca a S, entonces todo número pertenece a S).


Un enunciado alternativo, y equivalente, de la axiomática de Peano es la siguiente:

El conjunto de números naturales ℕ, puede definirse recurriendo a una aplicación f: ℕ → ℕ, de tal forma que el par (ℕ, f) verifique las siguientes propiedades:

  1. f es inyectiva
  2. Existe un único elemento 0∈ℕ tal que 0∈Imf
  3. [(S ⊆ ℕ) ∧ (0∈S) ∧ (f(S) ⊆ S)] → (∀ a∈ℕ) (aS)

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  • EUNIMAT (Enciclopedia Universal Ilustrada de la MATemática)

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