Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 3: de julio a agosto de 2014
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Cálculo del límite de una sucesión numérica

De Epistemowikia

Tabla de contenidos

Operaciones algebraicas y límites

Situemonos en el cuerpo ordenado (K,+,·,≤)
Sean {an},{bn}⊆K, tales que lim {an} = a, y lim {bn} = b.

Entonces podemos definir las siguientes operaciones:

Límites y la estructura de orden

Sucesiones monótonas. Propiedades. El número e

Límites infinitos. Indeterminaciones

Cuando calculamos límites existen unos determinados casos en los que se pueden obtener resultados variados dependiendo de las funciones con las que trabajemos. Lo cual no quiere decir que ante uno de estos casos, no podamos hallar su límite, sino que debemos buscar procedimientos alternativos al general para el cálculo de éstos.

A partir de ahora trabajaremos en la recta real ampliada: \mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}

Si tenemos dos sucesiones y ambas tienden a +∞, el límite de la sucesión suma será: (+∞)+(+∞) = +∞

Si an tiende a +∞ y bn también tiende a +∞, la suma de ambas por tanto tendrá como límite +∞. ¿Pero qué pasará con la resta de dos sucesiones cuyo límite sea +∞?

an=n y bn=2n, luego an-bn=-n, con lo que su límite sería -∞. Pero si por ejemplo: an=n+k y bn=n, el límite de an-bn=k, con lo que el límite tendería a k. Lo que nos viene a demostrar, que \infty-\infty es una indeterminación, pues el resultado de ese límite dependerá de las funciones que tengamos, si intentamos resolverlo de una forma general.

0\cdot\infty también es otra indeterminación:

Si an=\frac{1}{n} y bn=n El producto an∙bn=1, con lo cual su límite es 1

Pero si an=\frac{k}{n} y bn=n, el resultado de ese producto será igual a k, y su límite por tanto, será también k.

De nuevo se demuestra, que para el cálculo de límites de la forma general, obtenemos en esta ocasión resultados variables según los valores de an y bn.

Otro tipo de indeterminación es: \frac{\infty}{\infty} Ya que si an=n2 y bn=n La división: \frac{a_n}{b_n}=n, por lo tanto el límite es +∞.

Pero si an=kn y bn=n, la división entre ambos daría como resultado k, cuyo límite sería k. Queda demostrada también esta indeterminación.

Hay más indeterminaciones, a parte de éstas, las restantes son del tipo: \frac{0}{0}, 00, \infty^0, 1^\infty


Ayudándonos del criterio de Stolz, podemos hallar los límites de las indeterminaciones: \frac{\infty}{\infty} y \frac{0}{0}

Por ejemplo: Sea \lim\frac{1+2!\sqrt{2}+3!\sqrt[3]{3}+...+n!\sqrt[n]{n}}{77n} = \lim\frac{a_n}{b_n}

Por lo que: {bn=77n}, que es estrictamente monótona creciente porque ∀n,m∈ℕ+, n<m ↝ 77n<77m

Además, bn=77n ↝ +∞ , por lo tanto, cumple el requisito de diverger para después aplicar el criterio de Stolz.

\lim\frac{a_n - a_n-1}{b_n - b_n-1} =

\ = \lim\frac{(1+2!\sqrt{2}+3!\sqrt[3]{3}+...+(n-1)!\sqrt[n-1]{n-1}n!\sqrt[n]{n}) - (1+2!\sqrt{2}+3!\sqrt[3]{3}+...+(n-1)!\sqrt[n-1]{n-1})}{77n - 77(n-1)} =

= \lim\frac{n!\sqrt[n]{n}}{77} = *1 \lim n!\sqrt[n]{n}\cdot \lim\frac{1}{77} = +\infty \cdot 1 \cdot \frac{1}{77} = +\infty

* 1 = Se aplicó el teorema fundamental del límite ↝ El límite de una sucesión producto es igual al producto de los límites

Ahora aplicamos el criterio de Stolz, ya que se cumplen las 3 condiciones para poder aplicarlo:

1 \lim\frac{a_n - a_n-1}{b_n - b_n-1} = +\infty\in\mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}

2 {bn=77n} es estrictamente creciente

3 {bn}↝+∞

Así pues, aplicando Stolz: \lim\frac{a_n}{b_n} = +\infty\in\mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}

Criterios relacionados con el número e

Aproximación de Stirling

Criterio del cociente


Sea {an}⊆ ℝ+


lim an/an< 1, entonces lim an = 0


lim an/an> 1, entonces {an} no converge.

Ej.: lim n/2n = lim an

lim an+1/an = lim [(n+1)/2n+1]/[n/2n] =//donde se van los 2 elevados a n y n+1 quedando un dos en el denominador// = 1/2·lim (n+1)/n --> 1/2 < 1
[lim n/2n = 0 por lo visto en los criterios.

Criterio de Stolz

Sean dos sucesiones {an} y {bn} ⊆ ℝ. Si {bn} es estrictamente monotona; entonces, tanto si {bn} diverge como si:

\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}b_n = 0

Se satisface que:

\lim_{n \to \infty} \frac {a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = L ∈ Ṝ

Entonces también :

\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L ∈ Ṝ


Un ejemplo de la aplicación del criterio de Stolz en el cálculo de un límite:

Trabajaremos en: \mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}

Sea \lim\frac{n^2}{7^n} = \lim\frac{a_n}{b_n}

{bn = 7n} es monótona creciente porque ∀n,m∈ℕ+, n<m ↝ 7n<7m

bn ↝ +∞ Por lo tanto, es divergente

\lim\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = \lim\frac{n^2 - (n-1)^2}{7^n - 7^{n-1}} = \lim\frac{2n-1}{7\cdot7^{n-1}-7^{n-1}} = \lim\frac{2n-1}{(7-1)7^{n-1}} = \frac{1}{6}\lim\frac{2n-1}{7^{n-1}}


Como no hemos llegado todavía a calcular el límite, nombramos al numerador como el conjunto cn y al denominador como el dn, para intentar aplicar de nuevo este criterio y llegar al cálculo del límite.

\frac{1}{6}\cdot\lim\frac{c_n}{d_n} *1

Vemos que {dn = 7n-1} es monótona estricta creciente, y además diverge a +∞.

Así: \lim\frac{c_n - c_{n-1}}{d_n - d_{n-1}} = \lim\frac{2n-1 - [2(n-1)-1]}{7^{n-1} - 7^{(n-1)-1}} = \lim\frac{2}{7^{n-1}-7^{n-1}\cdot7} = \lim\frac{2}{7^{n-1}\cdot(-6)} =

(-\frac{1}{3})\lim\frac{1}{7^{n-1}} = (-\frac{1}{3})\cdot\frac{1}{+\infty} = 0^-


Como se satisfacen las 3 condiciones:

1 {dn} es estricta creciente

2 dn ↝ +∞ por lo que es divergente

3 \lim\frac{c_n - c_{n-1}}{d_n - d_{n-1}} = 0\in\mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}

Podemos aplicar entonces el criterio de Stolz(cn, dn): \lim\frac{c_n}{d_n} = 0

*1 Sustituyendo ahí arriba: \frac{1}{6}\cdot0^- = 0^-

Y ahora vemos, que como también se cumplen las 3 condiciones:

1 {bn} es estricta creciente

2 bn ↝ +∞ así que también es divergente

3 \lim\frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = 0\in\mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}

Aplicamos de nuevo el criterio de Stolz(an, bn):

\lim\frac{a_n}{b_n} = 0

Y así queda calculado el límite de este ejemplo, habiendo aplicado dos veces el criterio de Stolz.

Corolario De Stolz

Sea {an} ⊆ ℝ y {bn} ⊆ ℝ+ tal que lim {b1+b2+...+bn} diverge a +∞, entonces:

\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L ∈ Ṝ

Entonces:

\lim_{n \to \infty} \frac{(a1+a2+...+an)}{(b1+b2+...+bn)} = L ∈ Ṝ


Demostracion:

An = a1+a2+...+an
Bn = b1+b2+...+bn

Bn es divergente, porque:
∀n∈ℕ+:bn > 0 ⇒ lim {Bn} = +∞

Así demostramos que cumple la primera hipotesis de Stolz.

Como Bn-1 < Bn ⇒ {Bn} es estricta creciente,lo que demuestra la segunda hipotesis de Stolz.

Hallaremos lim (An - An-1) / (Bn - Bn-1) = lim (an)/(bn) = a ∊ ℝ ∪ {+∞,-∞}[Por hipótesis]

Lo que demuestra la tercera hipótesis de Stolz.

Ahora estamos en condiciones de aplicar el teorema de Stolz, llegando a la siguiente conclusión:

lim An / Bn = lim (a1+a2+...+an)/(b1+b2+...+bn) = a ∊ ℝ ∪ {+∞,-∞}


Ejemplo

Calcular el siguiente límite:


\lim\frac{{n(n + 1)}}{{1 + 2! + 3! + ... + n!}}

Para ello usaremos el criterio del corolario.

Podemos arreglar un poco el numerador como sigue:

n(n+1)=2·(n/2)·(n+1)=2·(1+2+3+...+n)= an

Por eso, el límite quedaría de la siguiente forma:


2 \cdot \lim \frac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{{1 + 2! + 3! + ... + n!}}


En primer lugar demostraremos que se cumplen las hipótesis:

Sea {bn = n!} ⊆ ℝ+, lo cual es cierto, porque ∀n∈ℕ+:n! > 0, demostrando así la primera hipótesis.

También comprobamos que bn es divergente, ya que su límite es infinito.

Para la tercera hipótesis tenemos que calcular el siguiente límite:

lim (an - an-1) / (bn - bn-1) = lim n / n! = lim 1 / (n-1)! = 1 / +∞ = 0+

Por tanto estamos en condiciones de decir que el límite buscado, tras aplicar el corolario a las sucesiones n y n! llegamos a la solución:

lim (1+2+3+...+n) / (1+2!+3!+...+n!) = 0

Criterios de la media aritmética, geométrica y de la raíz

Criterio de la Media Aritmética


Sea {an}⊆ℝ. Si lim an=a∈ℝ∪{-∞,+∞}, entonces \lim \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} = a\in\mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}
Vamos a demostrarlo a partir del criterio de Stolz:
\lim\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} = \lim\frac{A_n}{B_n}
1 Bn es estricta creciente 2 Bn=n↝+∞ 3 No se pudo entender (error desconocido\lima): \lim\frac{A_n-A_{n-1}}{B_n-B_{n-1}} = \lim\frac{(a_1+a_2+...a_n)-(a_1+a_2+...+a_n-1)}{n-(n-1)}=\lima_n

Aplicando la hipótesis del criterio de la media aritmética \lim a_n = a\in\mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}
Al cumplirse las 3 condiciones del criterio de Stolz (1^2^3) Aplicamos el criterio de Stolz para (An, Bn
\lim\frac{A_n}{B_n}=\lim\frac{a_1+a_2+...a_n}{n}=a\in\mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}
Ejemplo de la aplicación del criterio de la media aritmética, para el límite siguiente: \lim\frac{1}{n}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}) Que es una indeter
\lim\frac{1}{n}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}) = \lim\frac{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})}{n}
Hemos pasado la indeterminación 0∙∞ a ∞/∞
Además, consideramos a \frac{1}{n} como an
Como el \lim{1}{n} = 0 Aplicando el criterio de la media aritmética a (\frac{1}{n})
Tenemos: \lim\frac{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}{n} = 0

Criterio de la Media Geométrica

Sea (An)n∊ℕ* una sucesión de números reales tal que \lim_{n \to \infty}a_n = a∊ℝ (ℝ= [-∞,+∞]) ⇒ \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1 . a_2...a_n} = a
Este criterio es fácilmente demostrable a partir del criterio anterior, el criterio de la media aritmética:
Para simplificar la notación: L = \lim(a_1 . a_2...a_n)^\frac{1}{n}
ln L = \lim ln(a_1 . a_2...a_n)^\frac{1}{n}
Tomamos ln en ambos términos, a fin de convertir productos en sumas:ln L = \lim \frac{ln a_1 +...+ ln a_n}{n}
Ahora suponemos que An = lnan. Así obtenemos la hipótesis del criterio que queremos demostrar: \lim a_n = a . Por ser ln x una función continua podemos asegurar que \lim A_n = ln a
Si aplicamos el criterio de la media aritmética sobre An: \lim \frac{A_1 + A_2 +...+ A_n}{n} = ln a
Igualando los resultados anteriores: lnL = lna, y sabiendo que ln x es inyectiva, llegamos a la conclusión de que L = a


Criterio de la Media Geométrica

Sea (An)n∊ℕ* una sucesión de números reales tal que \lim_{n \to \infty}a_n = a∊ℝ (ℝ= [-∞,+∞]) ⇒ \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1 . a_2...a_n} = a

Criterio de la Raiz

Sea (An)n∊ℕ* una sucesión de números reales tal que ∀n∊ℕ* An≻0 \lim_{n \to \infty} \frac {a_n} {a_{n-1}} = a∊ℝ (ℝ= [-∞,+∞]) ⇒ \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}= a

Demostración a partir del criterio anterior, criterio de la media geométrica. Para ello, expresemos la hipótesis del criterio de la raíz para que se parezca al criterio de la media geométrica:
\lim \sqrt[n]{a_n} = ... = \lim \sqrt[n]{A_1·A_2·...·A_n}
Sabiendo a lo que tenemos que llegar, partamos de lo siguiente:
A1A2...An = an;
Como para la hipótesis del criterio de la raíz necesitamos obtener la expresión an/n-1, tratemos de hacer lo siguiente: Sea An = 1 si n = 1, an/an-1 si n ≥ 2, de tal manera que podamos simplificar la expresión:
a_n = \frac{a_1}{1}·\frac{a_2}{a_1}·...·\frac{a_{n-2}}{a_{n-3}}·\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}
·\frac{a_n}{a_{n-1}}
Según la hipótesis criterio de la raíz:
{an} ⊆ ℝ+
\lim A_n = \lim \frac{a_n}/{a_{n-1}} = a \in \overline{mathbb(R)}
Ahora podemos aplicar el criterio de la media geométrica sobre An:
\lim \sqrt[n]{A·...·A_n} = \sqrt[n]{a_n} = a \in mathbb(R)

Ejemplo: Tenemos la intuición de que: \lim \sqrt[n]{n} = 1
Aplicamos el criterio de la raíz sobre n para comprobarlo:
1º: {n} ⊆ mathbb(R) +
2º:\lim \frac{n}{n-1} = 1
Vemos que se cumple, así que podemos afirmar que: \lim \sqrt[n]{n} = 1

Algoritmo lineal de convergencia

Aplicación del axioma del supremo

Infinitésimos e infinitos. Sustitución de infinitésimos e infinitos equivalentes


De la misma manera que los teoremas anteriormente descritos nos ayudan a calcular límites, los infinitésimos son otra herramienta de la que nos serviremos en el cálculo de límites. Así pues, comencemos definiéndolos:


Definición: f es un infinitésimo en un punto a \Leftrightarrow \lim_{x \to a}f(x) = 0
f es un infinito en un punto a \Leftrightarrow \lim_{x \to a}f(x) =  \infty
Según la definición, podemos intuir ejemplos sencillos de infinitésimos: x es infinitésimo en 0, sen x es infinitésimo en 0, cos x es infinitésimo en π/2.


Ahora que conocemos las definiciones, veamos algunas característicass de los infinitésimos:
Sean f,g infinitésimos en a. Podemos decir que:
- f y g son infinitésimos comparables en a si \exists \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}
- f es de orden superior a g si \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0
- f y g son del mismo orden si \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = k \in \mathbb{R}-{0}. Además, si k=1, estamos hablando de infinitésimos equivalentes, que son los que realmente nos servirán en el cálculo de límites.


ORDEN DE UN INFINITÉSIMO
Sea f un infinitésimo, y sea \alpha el infinitésimo principal (que a continuación definiremos)
Podemos decir que el orden de f es r \in \mathbb{R} tal que \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\alpha^r} = L (L \in \mathbb{R}-{0}
α se define de la siguiente forma:α(x) = xa. Además resulta útil saber que la parte principal del infinitésimo f es L·αr.


APLICACIÓN DE INFINITÉSIMOS AL CÁLCULO DE LÍMITES: TEOREMA DE SUSTITUCIÓN DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES
Sean f y g infinitésimos equivalentes en \beta = x_0 \in \mathbb{R}, x_0^+,x_0^-,-\infty,+\infty

Entonces, en los casos siguientes es factible la sustitución de un infitésimo por otro equivalente:

a) lím x->β f(x)*h(x) = lim x->β g(x)*h(x) donde f(x) y g(x) son infitésimos equivalentes.

b) lím x->β h(x)/f(x) = lim x->β h(x)/g(x)

c) lim x->β af(x)*h(x) = lim x->β ag(x)*h(x)

d) lim x->β ah(x)/f(x) = lim x->β ah(x)/g(x)

e) lim x->β loga (f(x)*h(x)) = lim x->β loga (g(x)*h(x) donde a ∈ ℝ+\{1}

f) lim x->β loga (h(x)/f(x)) = lim x->β loga (h(x)/g(x)

g) lim x->β h(x)* f(x)1/n (raíz enésima) = lim x->β h(x)* g(x) 1/n

h) lim x->β h(x)/f(x)1/n = lim x->β h(x)/g(x)1/n


Esto es lo que se conoce como Teorema de sustitución de infinitésimos equivalentes.


ALGUNOS EJEMPLOS DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES
- Si f(x) es un infinitésimo en β, entonces algunos de sus infinitésimos equivalentes son:
sen f(x), tg f(x), arcsen f(x), arctg f(x), \frac{a^{f(x)}-1}{ln(a)}, \frac{(1+f(x))^a-1}{a}.
- (1+f(x))n \sim_{\beta} 1+nf(x)
- f(x)k \sim_{\beta} ln(1+f(x)k)
- 1-cos f(x) \sim_{\beta} \frac{f^2(x)}{2}
- f(x)-sen f(x) \sim_{\beta} \frac{f^3(x)}{3}
- tg f(x) - f(x) \sim_{\beta} \frac{tg^3(x)}{3}
- Pn(f(x)) es infinitésimo equivalente al término de menor grado del polinomio, incluido el término independiente.

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