Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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Definiciones y Demostraciones

De Epistemowikia

I--DEFINICIONES:

    En toda definición, se distingue entre lo que hay que definir (definiendum) y la expresión que lo define (definems). Evidentemente, los términos definientes deben preexistir a la definición, bien porque hayan sido definidos con anterioridad, bien por haber sido admitidos como primitivas del sistema. La definición debe ser consistente internamente y con el sistema donde se realiza.

    En una definición explícita, el definiendum y el definems están claramente separados por un signo especial. Si notamos D al definiendum y d al definems, suele escribirse D=def. d, D:=d, D:≡d, D:<=>d, D=d para expresar que D es igual a (o simplemente, es) d, por definición. Por ejemplo, la definición de la derivada lateral derecha de f en x0:

 \frac{df}{dx}(x_0+0)= lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

    En una definición implícita el definiendum y el definems, aunque distinguibles, son inseparables. Por ejemplo:

 y=loga x ⇔ a^y=x

    Una definición explícita podría ser:

 loga x = {(x,y):a^y=x}

    La definición inductiva o recursiva es un caso particular de definición implícita. Por ejemplo, el factorial:

 0!=1 y n!=n(n-1)!      (∀n≥1)


     Frecuentemente, se usa la definición para permitir la introducción de signos nuevos, disminuyendo la complejidad notacional: por ejemplo:

 a≤b = (a<b ∨ a=b)

    El teorema de definibilidad de BETH, permite asegurar que cualquier definición implícita formulada en el lenguaje de la Lógica de Predicados de Primer Orden, puede formularse en forma explícita.



II--DEMOSTRACIONES:

    En este apartado tratamos sobre algunas formas de demostrar la validez o falsedad de un teorema, esto es, una forma lógica AB. Si lo que queremos es demostrar un teorema de la forma AB, haremos uso de la tautología "doble implicación".

Demostración por contraejemplos:

    Si sospechamos que es falso, podemos demostrar su falsedad encontrando un ejemplo para el que A sea verdadera y B sea falsa. Decimos entonces que hemos encontrado un contraejemplo al teorema. Un único contraejemplo es suficiente para demostrar la falsedad de un teorema; por otro lado, el hecho de que no seamos capaces de encontrar un contraejemplo a un teorema dado no significa que sea válido.

Demostración con ejemplos:

    El hecho de encontrar varios ejemplos que verifiquen un teorema no demuestra la validez del mismo. Sólo ocurre esto último en casos especiales, por ejemplo: (a) "el universo es infinito" (a veces, este tipo de demostración se llama inducción perfecta o exhaución): "todos los impares mayores que 0 y menores que 9 son primos"; en este caso, podemos analizar uno a uno esos números (1, 3, 5, 7), ha resultado ser todos primos y por tanto, verdadero el teorema; (b) un teorema de existencia : "en esta bolsa, hay alguna bola blanca" .

Demostración directa:

    Este método de demostración consiste en demostrar la validez del teorema directamente, esto es, simplemente debemos derivar B de A.

¿(∀x∈Z) (x múltiplo de 10 ⇒ multiplo de 5?;

 A ≡ (∃k∈Z) (x=k•2•5) (k•2∈Z), esto implica que (∃h=k•2∈Z)(x=h•5)≡B

Demostración por contraposición:

    Con este método se intenta demostrar directamente la validez de B ⇒ A, lo cual, según la contrapositiva, equivale a demostrar que A ⇒ B es válido.

¿(∀x∈Z) (x múltiplo de 10 ⇒ multiplo de 5?; en realidad, si queremos usar la contrapositiva, la pregunta es equivalente a ¿(∀x∈Z) (x no es múltiplo de 10 ⇒ no multiplo de 5?. Con A y B definidos anteriormente;

¬B ≡ (∀n∈Z) (x≠n•5), un entero (n=k•2), (∀k∈Z) (x≠k•2•5)≡(∀k∈Z) (x≠k•10)≡¬A

Demostración por reducción al absurdo:

    Este método consiste en demostrar la validez de (A ^ B) ⇒ 0, lo cual, según la tautología "reducción al absurdo", implica la validez de A ⇒ B.

¿Si un número real sumado consigo mismo es él mismo, entoces tal número es el cero?

sea x∈R, A∧¬B ≡ (x+x=x)∧(x≠0)

Al ser x≠0, podemos dividir 2x=x entre x, lo cual conduce a la contradicción 2=1

Demostración por inducción: (MÉTODOS)

    Notamos por P(n) el hecho de que n∈N+ verifica P. Este método demuestra la validez de P para todo n∈N+, de la forma siguiente:

Inducción DÉBIL: Llamamos paso básico a A, paso inductivo débil a B y hipótesis inductiva débil a P(k).

 A ≡ P(n1) verdadero
 
 B ≡(∀k≥n1) (P(k) verdadero)⇒ P(s(k)) verdadero)
 
 A∧B ⇒ (∀n∈S) (P(n) verdadero)


Inducción FUERTE: Llamamos paso básico a A, paso inductivo fuerte a B y hipótesis inductiva fuerte a (∀ r≤k) (P(r) verdadero).

 A ≡ P(n1) verdadero
 
 B ≡(∀k≥n1) (((∀r≤k)(P(k) verdadero)⇒ P(s(k)) verdadero)
 
 A∧B ⇒ (∀n∈S) (P(n) verdadero)


TEOREMA: Realmente, los métodos de demostración por inducción son válidos para cualquier conjunto numerable S que esté bien ordenado, cuyo primer elemento sea n1 y la localización del siguiente elemento se base en la existencia de una función siguiente o sucesor s(k)


Si por ejemplo, quisiésemos demostrar una propiedad para todos los elementos del conjunto de pares positivos, entonces tendríamos:

 S≡Pares positivos; el primer elemento n1 = 2 y la funcion s(K)=k+2

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