Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
Epistemowikia es parte de
Logotipo de CALA Virtual
CALAALA | Communitas | Evolvere
Editio | Epistemowikia | Exercitatio | Fictor | Flor
Epistemowikia no se hace responsable ni se identifica necesariamente con el contenido ni las opiniones expresadas por sus colaboradores.
La Universidad de Extremadura no se hace en ningún caso responsable de los contenidos publicados en Epistemowikia.
Ni la Asociación Conocimiento Comunal (CONOMUN) ni el Grupo de Investigación de Ingeniería Telemática Aplicada y Comunicaciones Avanzadas (GÍTACA) se hacen en ningún caso responsable de los contenidos publicados por terceros.

Inicio | La revista | Índex | Hemeroteca | Búsquedas | Quiénes somos | Contacto | Publica

Ejercicios y problemas sobre conjuntos abiertos y cerrados (soluciones)

De Epistemowikia


¡Advertencia!
Enunciados primeros aquí. Las soluciones y otros enunciados son aportaciones de la comunidad.

P1

Demuestra que cualquier subconjunto del espacio métrico discreto (E,dd) es abierto y cerrado.

 

Sol.:...

En primer lugar debemos definir cómo es el espacio métrico discreto: (E,dd) un e. m. Siendo E ≠ 0 dd= 1.- Si x=y La distancia es 0. 2.- Si x≠y La distancia es 1.

Una vez definida la distancia discreta, comprobemos si es abierto, es decir veamos si podemos encontrar bola abierta para todo x que pertenezca a E. Consideremos el caso en el que la bola tiene radio < 1, observando las condiciones sobre las que se basa la distancia discreta, deducimos que ese subconjunto está formado por: {x} y bajo esa premisa podemos definir cualquier bola abierta dentro del conjunto de radio menor que 1, es decir, ese subconjunto del espacio métrico discreto es abierto. Hablemos de conjuntos cerrados. Un conjunto cerrado es aquel cuyo complementario es abierto. Partiendo del subconjunto de radio < 1, podemos deducir que su complementario es E\{x}, es decir el subconjunto de radio >= 1. Podemos definir perfectamente bolas dentro de ese espacio métrico tomando como centro cualquier elemento que pertenezca a E/{x}. Por lo tanto el subconjunto de radio < 1 es, a su vez cerrado (ya que su complementario es abierto).

P2

Demuestra que toda bola abierta (resp., cerrada) es un conjunto abierto (resp., cerrado).

 

Sol.: Por definicion de Bola abierta tenemos que: Bd(x0,r)={x∈E: d(x,x0)<r} y por definicion de conjunto abierto: A es abierto en (E,d)⇔(∀x∈A)(∃r∈ℝ+)(B(x,r)⊆A) Entonces tenemos que: B(x0,r0) es abierta en (E,d)⇔(∀x∈ℝ+)(B(x,r)⊆B(x0,r0))...

P3

Sea (E,d) un espacio métrico y A ⊆ E. Demuestra que A es abierto si y sólo si A es unión de bolas abiertas.

 

Sol.:...

P4

 

Sol.: ℕ no es abierto en (ℝ, d2), pues existe un n de ℕ(∃n∊ℕ), tal que para todo r de ℝ+ (∀r∊ℝ+)se puede encontrar una bola de centro x y radio r que no está contenida en ℕ (B(x,r)⊈ℕ). Por ejemplo, si cogemos una bola de centro 0 y radio 1, esa bola no estará contenida en ℕ, ya que la bola iría de -1 hasta 1, y (-1,0)∉ℕ.

ℕ es cerrado, pues su complementario es abierto, por ser unión numerable de abiertos. ℝ∖ℕ = (⇠,0) U (0,1) U (1,2) U ... U ... Podemos hacer lo mismo para ℤ, su complementario también es abierto, por ser unión numerable de abiertos, por lo tanto, también es cerrado. Al hablar del conjunto ℚ en (ℝ, d2) no es abierto por que existe una bola de centro x y radio r en la que cojamos elementos de ese conjunto, en este caso sólo numeros racionales( esto es porque los ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ). Vamos a ver si es cerrado: Nos fijamos en su complementario.La primera pregunta surge rapidamente ¿Que es un conjunto complementario de otro? Una vez sabido que es el complementario de un conjunto por pura intuición nos damos cuenta de que el complementario de los numeros racionales son los numeros irracionales(y solo algunos, ya que otros pertenecen al conjunto de los racionales).Luego llegamos a la conclusion de que este a su vez tambien es un onjunto cerrado. ...

P5

El conjunto de los bytes terminados en 1, ¿cómo es en ({0,1}8,dH), abierto, cerrado...? (dH es la métrica de Hamming)

 

Sol.:...

Tanto N,Q y Z son cerrdos porque en el caso de los naturales su complementario son los numeros reales que son abiertos por ser unión numerables de abiertos. Para los Q su complementario son los numeros reales que todo seria igual a los numeros irracionales y hay una gran cantidad de numerables racionales


Esto que tiene que ver con Hamming :? Por cierto Q cerrado?Y que pasa con el concepto de conjunto denso en ese caso?

oye es verdad que tiene que ver con hamming y eso del conjunto denso yo creo que es cerrado!

P6

Un bit puede tomar valores de {0,1}. Un fit n-ario (o n-fit) puede tomar valores de {0,1,...,n-1} (conjunto que suele notarse ℤn). Un fit binario (un 2-fit) es un bit. Un n-fyte es una cadena de 8 n-fits. La distancia de Levenshtein, también conocida como distancia de edición, que notaremos d, se usa a menudo en teoría de la información para medir disimilitudes entre cadenas de caracteres. ¿Es d una métrica en el espacio de los n-fytes? ¿Alguna idea gráfica ―en (ℝ2,d2) o (ℝ3,d2)― de la forma geométrica de sus bolas cerradas?

 

Sol.:...

P7

Sea un espacio métrico (E,d). Demuestra que todo subconjunto finito de E es cerrado. ¿Es abierto todo subconjunto infinito?

 

Sol.:...

P8

Sea el espacio métrico (ℕ, d2).
1) Sea x∊ℕ; halla la bola abierta B(x, r≤1), con r∊ℝ+, y las bolas B(x, n∊ℕ+) y B[x, n∊ℕ+].
2) Demuestra que ∀ x∊ℕ, {x} es abierto y cerrado.

 

Sol.:...

P9

Si llamamos discretos a aquellos conjuntos donde cada elemento tiene predecesor, sucesor, o ambos, entonces, demuestra que, cualquier conjunto discreto, en cualquier espacio métrico, es cerrado.

 

Sol.:...

P10

Sea el espacio métrico ([0,1] ∪ [2,3], d2).
1) Halla las bolas B(1, 1/2), B[1, 1/2] y B(1, 1+1/2).
2) Demuestra que ∀ x∊ℕ, {x} es abierto y cerrado de (ℕ, d2).

 

Sol.:...

P11

Demuestra que {1+1/n: n∊ℕ+} no es ni abierto ni cerrado en (ℝ, d2).

 

Sol.:...

P12

Utilizando el hecho de que la unión numerable de abiertos es abierto, demuestra que:
1) ∀a∊ℝ, los intervalos abiertos (a, →) y (←,a) son conjuntos abiertos en (ℝ,d2)
2) la intersección de una familia cualquiera de cerrados es cerrado.

 

Sol.:...

P13

Demuestra que la intersección de una familia cualquiera de abiertos puede que no sea abierto, y que la unión de una familia cualquiera de cerrados, puede que no sea cerrado.

 

Sol.: Intersección Familia de abiertos no abierto

Consideremos, por ejemplo, el espacio métrico (N,d2). Pongamos el ejemplo de una familia reducida de conjuntos formados por (1, 4) y (2, 5). La intersección entre esos dos subconjuntos sería única y exclusivamente {3} en este espacio métrico (natural, así que olvidamos todos los números racionales, irracionales, reales... incluidos en esos subconjuntos). Y como todo conjunto formado por un único elemento es cerrado (conjunto finito), podemos observar que no siempre la intersección de abiertos es abierto...

P14

Sean el espacio métrico (ℝ3,d2) y A,B ⊆ ℝ3. Si A es abierto, demuestra:
a) ∀ b∊B, A+b={x+b : x∊A} es abierto
b) A+B={x+y : x∊A, y∊B} es abierto

 

Sol.:...

Por definicion de Bola abierta tenemos que: Bd(x2,r)= ={x∈E:d(x,x2)<r}. A es abierto en(E,d)⇔(∀x∈A)(∃r∈ℝ3)(B(x,r)⊆A) Entonces tenemos que: B(x2,r2) es abierta en (E,d)⇔(∀x∈ℝ3)(B(x,r)⊆B(x2,r2))</b>... Luego A es abierto, porque no se puede encontrar una bola de centro x y de radio r, que no se la misma bola.


Temas relacionados

INDEX

  • EUNIMAT (Enciclopedia Universal Ilustrada de la MATemática)

Condiciones de uso

©Todo lo dicho aquí está en el Dominio público.

Herramientas personales