Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 3: de julio a agosto de 2014
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Ejercicios y problemas sobre conjuntos compactos (soluciones)

De Epistemowikia


¡Advertencia!
Enunciados primeros aquí. Las soluciones y otros enunciados son aportaciones de la comunidad.

P1

Sea el espacio métrico (ℝ,d2). Para todos los siguientes conjuntos:
i) Halla el interior, exterior, frontera, adherencia, derivado y la isla de todos ellos.
ii) ¿Cuáles son abiertos, cuáles cerrados, cuáles acotados, cuáles compactos y cuáles conexos?
iii) Calcula el diámetro de los que sean acotados.
a) (0,1]
b) ℤ
c) ℚ
d) ℝ+
e) [0,→)
f) ℚ+
g) [0,→)∩ℚ
h) {(n+1)/n : n∊ℕ+}
i) {(n+1)/n : n∊ℕ+}∪{0}
j) {(n+1)/n : n∊ℕ+}∪{1}
k) ⋃n∊ℕ+(1/2n,1/(2n-1))
l) {x∊ℝ : x2+2 > 3x}
m) {x∊ℝ : x3 ≤ 4x2 − 3x}

 

Sol.:...


a) (0,1]
i)Interior de A: Parece claro que se trata de todo el conjunto excepto el 1, pues si centramos una bola en 1, la parte derecha de la bola queda fuera del conjunto. Int A = (0,1)

Exterior de A: Por definición, el ext A es el interior del complementario de A, E\A. Definamos entonces E\A = (←,0] ⋃ (1,→). De nuevo, vemos que se trata de todo E\A menos el 0, porque al centrar una bola abierta en 0, la parte derecha de la bola queda fuera del complementario. Ext A = (←,0) ⋃ (1,→)

Frontera de A: Son aquellos puntos en los que puedo centrar una bola que tenga intersección con A y con E\A. Se trata de los extremos del conjunto: δA = {0,1}

Adherencia de A: Son los puntos en los que puedo centrar una bola que interseca con el conjunto. En este caso, se trata de todo el conjunto, incluyendo el 0, donde la parte derecha de la bola centrada en él pertenecería al conjunto: adh A= [0,1]

Derivado de A: Es el conjunto de puntos de acumulación de A, siendo los puntos de acumulación aquellos en los que puedo centrar una bola perforada y su intersección con el conjunto no es vacía. Así, en el conjunto (0,1], el derivado sería: A'= [0,1]

Isla de A: Conjunto de puntos en los que una bola centrada en ellos sólo tendría como intersección con el conjunto ellos mismos. En este caso no hay ningún punto aislado:is A= ∅


b) ℤ
i)

Interior de ℤ: int ℤ = ∅

Exterior de ℤ: ℝ/ℤ = ℝ - ℤ ext ℤ = int ℝ/ℤ = ℝ - ℤ

Frontera de ℤ: Sabiendo que {int ℤ, ext ℤ, δℤ} es una partición de ℝ, podemos despejar para tratar de hallar la fontera de ℤ: δℤ = ℝ/(ext ℤ Ú int ℤ); δℤ = ℝ/ℝ/ℤ. Por involución: δℤ = ℤ

Adherencia de ℤ: Acabamos de ver que δℤ = ℤ, y sabemos, por definición, que cualquier punto de la frontera está incluido en la adherencia. Por tanto, adh ℤ = ℤ

Derivado de ℤ: A' = ∅

Isla de ℤ: Como estamos en el espacio métrico (ℝ,d2) todos los puntos de ℤ son puntos aislados:


e) [0,→) Interior de E:Int E=(0,→)Parece claro que el interior de E sea de 0 a infinito, porque todos estos numeros estan dentro de la bola E.

Exterior de E:ext E(←,0). Parece claro que el exterior de E sea de menos infinito a 0, porque todos estos números, no están dentro de la bola E, estarian fuera de la bola E, es decir serían el exterior de E.

Frontera de E: Son aquellos puntos en los que puedo centrar una bola. Se trata de los extremos del conjunto:δE = (0,→)

Adherencia de E:Son los puntos en los que puedo centrar una bola. En este caso, se trata de todo el conjunto, incluyendo el 0, donde la parte derecha de la bola centrada en él pertenecería al conjunto:adh E= [0,→)

Derivado de E:Son los puntos de acumulación, estos puntos son los que pueden centrar la bola, estos puntos son los siguientes: E' =[0,→)

Isla de E: Conjunto de puntos en los que una bola centrada en ellos sólo tendría como intersección con el conjunto ellos mismos.is E = ∅

P2

Demuestra que si A es acotado, entonces adh(A) es compacto.

 

Sol.:...

P3

Demuestra que las esferas hueca y rellena son compactos de (ℝ3,d2).

 

Sol.:...

P4

Sean (ℝ,d2) y A={(n-1,n+1) : n∊ℤ}
a) ¿Es A un recubrimiento de ℝ?
b) Caso de ser cierto a), utiliza tal hecho para demostrar que ℝ no es compacto.

 

Sol.:...

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