Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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Ejercicios y problemas sobre números naturales y enteros

De Epistemowikia


Versión estática 1.0
Versión editable de este artículo: Ejercicios y problemas sobre números naturales y enteros (Avance)


P1

Tres colegas acaban de cenar en un restaurante. La cena les cuesta 30 euros, 10 a cada uno. Cuando el camarero le entrega el dinero a la cajera del restaurante, ésta le comenta que como son amigos suyos, les devuelva 5 euros; el camarero, algo molesto por el trato de los clientes, decide quedarse con 2 euros, como propina, y sólo les devuelve 3 euros, uno a cada uno. Pues bien, pensemos, cada colega ha pagado 9 euros, esto es, entre los tres, 27 euros, que mas los dos que se quedó el camarero hacen un total de 29 euros. ¿Quién se guardó el euro que falta?

P2

«Demostremos» que todos los números naturales son iguales, o sea, que sólo hay un número natural. Sea A(n) la afirmación «en cualquier conjunto de n números naturales, todos ellos son iguales». Demostremos, por inducción débil, que, ∀ n∊ℕ+, es cierta A(n). Si n=1, A(1), o sea, «en cualquier conjunto unitario de números naturales, todos son iguales» es, trivialmente, cierto. Suponemos cierto A(k) y demostramos A(k+1): notemos por P cualquier conjunto de k+1 números naturales; quitemos uno de ellos, por ejemplo, n; en el conjunto P\{n}, al contener k números, todos ellos son iguales (por hipótesis de inducción); pongamos de nuevo a n en el conjunto y quitemos otro número distinto, m; en el conjunto P\{m}, al contener k números, todos ellos son iguales (lo que implica que n es igual a todos los de P\{n}). De este modo, hemos demostrado que A(k) → A(k+1). Así que por inducción débil, es cierto, que, ∀ n∊ℕ+, A(n). ¿O no?

P3

Demostremos, por inducción, que:
a) (∀ n∊ℕ+) (4n > n2)
b) \sum_{i = 1}^n {i^3 }  = \left( {\frac{{n(n + 1)}}{2}} \right)^2

P4

Demostremos que: (∀ a,b∊ℕ) (a ≤ b → suc(a) ≤ suc(b)).

P5

Demostremos que:
a) Ningún entero puede ser a la vez par e impar.
b) Todo entero es par o impar.
c) Tanto la suma como el producto de dos enteros pares es par.
d) ¿Qué puede decirse acerca de la suma o del producto de dos enteros impares?
e) El producto de todo número entero por su siguiente, es par.
f) (∀ a∊ℤ) (∀ n∊Impares) (na∊Pares → a∊Pares).
g) (∀ a∊ℤ) (a2∊Pares → a∊Pares).
h) (∀ a,b∊ℤ) (a2 = 2b2 → a,b∊Pares).
i) (∀ a∊ℤ) (a3∊Pares → a∊Pares).
j) Si an∊Pares (n > 3), ¿podría afirmarse algo sobre si a∊Pares?
k) Todo número racional puede expresarse como cociente de dos enteros, uno al menos de los cuales es impar.

P6

Demostremos que, dados cinco números enteros, existen tres de ellos, cuya suma es múltiplo de 3.

P7

Demostremos que, para todo n∊ℕ+, 34n+ 9 es múltiplo de 10.

P8

Sean a,b,c∊ℤ, consecutivos. Demostremos:
a) a+b+c = 3b
b) a·b·c es múltiplo de 6
c) al menos uno es múltiplo de 3

P9

Demostremos que: (∀ a∊ℕ) (∃ a,b∊ℕ) (n3= a2−b2 ∧ a·b es múltiplo de 3).

P10

La suma de todos los diferentes números naturales de dos cifras que pueden formarse con tres cifras es igual a 528.
a) ¿Cuáles son las tres cifras?
b) ¿Y si las cifras son consecutivas?

P11

Encontremos cuatro números naturales consecutivos, tales que la suma de los cubos de los tres primeros sea igual al cubo del último.

P12

Se sabe que un número natural n es cuadrado perfecto, y que sus dos primeras cifras son iguales y las dos últimas también. ¿Cuál es n?

P13

Determinemos el menor n∊ℕ+, tal que 103n+1 sea cuadrado perfecto.

P14

Demostremos:
a) La última cifra del cuadrado de un número natural n, es la última cifra del cuadrado de la cifra de las unidades de n.
b) ¿En qué acaba un cuadrado perfecto?
c) El cuadrado de un número que termina en cero tiene doble número de ceros que su raíz.
d) ¿Puede un cuadrado perfecto acabar en un número impar de ceros?
e) Todo cuadrado perfecto que acaba en 5, lo hace en 25.

P15

Demostremos que, sean cuales sean los enteros positivos a y b, se satisface:
a) mcd(a/mcd(a,b),b/mcd(a,b))=1
b) mcd(a,b)=mcd(a+b,mcm(a,b))

P16

A partir de ciertos estudios muy precisos realizados en un conjunto de políticos, sabemos que exactamente uno de cada 55 bizquea, uno de cada 12, tiene la oreja derecha mayor que la izquierda, y uno de cada 23, la pierna izquierda más corta que la derecha. Sabemos además que se han estudiado unos 15.000 políticos, ¿cuántos exactamente?

P17

Dos evaluadores deciden utilizar dos baremos distintos: uno cualitativo {«cero», «uno», «dos», ..., «sesenta» } y otro cuantitativo {0, 2,4, 4,8, ..., 60}. Si las superponemos, haciendo coincidir «cero» con 0 (primera coincidencia), ¿dónde se producen las siguientes coincidencias?

P18

Una Organización No Gubernamental (ONG) ha efectuado una campaña de recogida de regalos para niños y niñas necesitados. Una vez finalizada, se han agrupado los regalos, considerando su posible valor, en tres grupos, de 124, 200 y 436 regalos. A una de las voluntarias se le ocurrió preguntar: ¿a cuántos niños y niñas podríamos regalar un lote de tres regalos, uno de cada grupo?

P19

Demostremos que todo número entero positivo:
a) mayor o igual que 14, puede expresarse como suma de treses u ochos;
b) distinto de 1 y de 3, puede expresarse como suma de doses o cincos;
c) mayor o igual que 24, puede expresarse como suma de cincos o sietes.

P20

Sean a un número entero cualquiera y n un entero positivo.
a) ¿Cuando es cierta la afirmación «an es par implica a es par»?
b) ¿Y la afirmación «an es impar implica a es impar»?

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