Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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De Epistemowikia


En construcción.


Tabla de contenidos

Recta

Ecuación vectorial

Punto: A \equiv (a_1,a_2,a_3) \,

Vector director: \vec v \equiv (v_1,v_2,v_3) \,

Ecuación vectorial: r \equiv \vec x = \vec a + t \vec v, t \in \R \,

Ecuaciones paramétricas

Punto: A \equiv (a_1,a_2,a_3) \,

Vector director: \vec v \equiv (v_1,v_2,v_3) \,

Ecuaciones paramétricas: r \equiv \begin{cases}
x = a_1 + tv_1 \\
y = a_2 + tv_2 \\
z = a_3 + tv_3 
\end{cases}

Ecuación continua

Punto: A \equiv (a_1,a_2,a_3) \,

Vector director: \vec v \equiv (v_1,v_2,v_3) \,

Ecuación continua: r \equiv \frac{x-a_1}{v_1}=\frac{y-a_2}{v_2}=\frac{z-a_3}{v_3}

Ecuaciones implícitas


\begin{cases} 
Ax + By + Cz + D = 0 \\
A'x + B'y + C'z + D' = 0 
\end{cases}

siendo rango \begin{pmatrix}
A & B & C \\
A' & B' & C' 
\end{pmatrix} = 2.

En este caso, sus parámetros directores son:

v_1 = \begin{vmatrix}
B & C \\
B' & C' 
\end{vmatrix} \quad v_2 = \begin{vmatrix}
C & A \\
C' & A' 
\end{vmatrix} \quad v_3 = \begin{vmatrix}
A & B \\
A' & B' 
\end{vmatrix}.

Recta incidente con dos puntos

Puntos: A \equiv (a_1,a_2,a_3), B \equiv (b_1,b_2,b_3) \,

Vector director: El vector director es el vector \overrightarrow{A B}, por lo que las ecuaciones anteriores son:

Vectorial
Paramétricas
Continua
\vec x = \vec a + t (\vec b - \vec a), t \in \R \, \begin{cases}
x = a_1 + t(b_1-a_1) \\
y = a_2 + t(b_2-a_2) \\
z = a_3 + t(b_3-a_3)
\end{cases} \frac{x-a_1}{b_1-a_1}=\frac{y-a_2}{b_2-a_2}=\frac{z-a_3}{b_3-a_3}

Incidencia de rectas

Dos rectas, r \equiv \frac{x-a_1}{u_1}=\frac{x-a_2}{u_2}=\frac{x-a_3}{u_3} y r' \equiv \frac{x-b_1}{v_1}=\frac{x-b_2}{v_2}=\frac{x-b_3}{v_3}, son secantes precisamente si el sistema formado por sus ecuaciones tiene solución. Caso de que no sea así, o son paralelas, o se cruzan.

En otras palabras, se cortan precisamente si \begin{vmatrix}
u_1 & v_1 & b_1-a_1 \\
u_2 & v_2 & b_2-a_2 \\
u_3 & v_3 & b_3-a_3 
\end{vmatrix} = 0
, mientras que se cruzan en caso contrario.

Radiación de rectas

Se llama radiación de rectas de origen o vértice P \,, al conjunto de todas las rectas que pasan por P \,. Variando el vector de dirección se obtienen todas las rectas de la radiación.

Paralelismo de rectas

Sean las rectas: r \equiv \vec x = \vec a + s \vec u, s \in \R \, y r' \equiv \vec x = \vec b + t \vec v, t \in \R \,.

Sea la matriz: \begin{pmatrix}
u_1 & v_1 & b_1-a_1 \\
u_2 & v_2 & b_2-a_2 \\
u_3 & v_3 & b_3-a_3 
\end{pmatrix}
.

Si el rango es 1, entonces son coincidentes. Si el rango es 2, entonces son paralelas y distintas.

Haz de rectas paralelas

Se llama haz de rectas paralelas a una recta dada r \equiv \begin{cases} 
Ax + By + Cz + D = 0 \\
A'x + B'y + C'z + D' = 0 
\end{cases}, al conjunto de todas las rectas paralelas a r \,.

La ecuación del haz es: r_{\lambda,\mu} \equiv \begin{cases} 
Ax + By + Cz + \lambda = 0 \\
A'x + B'y + C'z + \mu = 0 
\end{cases}, siendo \lambda,\mu \in \R \,.

Plano

Ecuaciones

Vectorial

Punto: A \equiv (a_1,a_2,a_3) \,

Vectores directores (Par direccional del plano): \vec u \equiv (u_1,u_2,u_3), \vec v \equiv (v_1,v_2,v_3) \,

Ecuación vectorial: \pi \equiv \vec x = \vec a + s \vec u + t \vec v \,, siendo s,t \in \R \,

Paramétricas

Punto: A \equiv (a_1,a_2,a_3) \,

Vectores directores (Par direccional del plano): \vec u \equiv (u_1,u_2,u_3), \vec v \equiv (v_1,v_2,v_3) \,

Ecuaciones paramétricas: r \equiv \begin{cases}
x = a_1 + su_1 + tv_1 \\
y = a_2 + su_2 + tv_2 \\
z = a_3 + su_3 + tv_3 
\end{cases}

General o implícita

Despejando convenientemente los parámetros s \, y t \, en las ecuaciones paramétricas, se obtiene, por sustitución, la ecuación general del plano.

\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0, siendo A,B,C,D \in \R.

Canónica o segmentaria

r \equiv \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \,, siendo A \equiv (a,0,0), B \equiv (0,b,0), C \equiv (0,0,c) \, los puntos en los que el plano corta a los ejes coordenados OX, OY, OZ \,.

Plano que pasa por tres puntos

Puntos: A \equiv (a_1,a_2,a_3), B \equiv (b_1,b_2,b_3), C \equiv (c_1,c_2,c_3) \,

Plano: \pi \equiv \begin{vmatrix}
b_1-a_1 & c_1-a_1 & x-a_1 \\
b_2-a_2 & c_2-a_2 & y-a_2 \\
b_3-a_3 & c_3-a_3 & z-a_3
\end{vmatrix} = 0


Par direccional: El par direccional del plano es \overrightarrow{A B} y \overrightarrow{A C}, por lo que las ecuaciones anteriores son:

Vectorial
Paramétricas
General
\vec x = \vec a + s (\vec b - \vec a) + t (\vec c - \vec a); s,t \in \R \, \begin{cases}
x = a_1 + s(b_1-a_1) + t(c_1-a_1) \\
y = a_2 + s(b_2-a_2) + t(c_2-a_2) \\
z = a_3 + s(b_3-a_3) + t(c_3-a_3)
\end{cases} K_1x + K_2y + K_3z - K = 0 \,
siendo:
K = det(\overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C})
K_1 = det(\vec 1,\overrightarrow{O B},\overrightarrow{O C})
K_2 = det(\overrightarrow{O A},\vec 1,\overrightarrow{O C})
K_3 = det(\overrightarrow{O A},\overrightarrow{O B},\vec 1)

Paralelismo de dos planos

Los planos \pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0 y \pi' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0 son paralelos (se nota \pi \parallel \pi' \,), precisamente si \frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \,.

Si además:

a) \frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'} \,, entonces los planos son paralelos y coincidentes;

b) \frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \ne \frac{D}{D'} \,, entonces los planos son paralelos y distintos.

Plano que pasa por un punto y es paralelo a dos vectores

Punto: A \equiv (p_1,p_2,p_3)

Vectores: \vec u \equiv (u_1,u_2,u_3), \vec v \equiv (v_1,v_2,v_3) \,
Plano: \pi \equiv \begin{vmatrix}
u_1 & v_1 & x-p_1 \\
u_2 & v_2 & y-p_2 \\
u_3 & v_3 & z-p_3
\end{vmatrix} = 0

Paralelismo de recta y plano

El plano \pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0 y la recta r \equiv \vec x = \vec p + t \vec v \, son paralelos precisamente si Av_1 + Bv_2 + Cv_3 = 0 \,.

Intersección de planos

Los planos \pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0 y \pi' \equiv A'x + B'y + C'z + D' = 0 tienen intersección cuando los coeficientes no sean proporcionales, esto es, cuando rango \begin{pmatrix}
A & B & C \\
A' & B' & C' 
\end{pmatrix} = 2.

Haz de planos

Dada la recta


\begin{cases} 
Ax + By + Cz + D = 0 \\
A'x + B'y + C'z + D' = 0 
\end{cases}

siendo rango \begin{pmatrix}
A & B & C \\
A' & B' & C' 
\end{pmatrix} = 2,

la ecuación del haz de planos de arista (o base del haz) la recta anterior, es: \alpha(Ax + By + Cz + D) + \beta(A'x + B'y + C'z + D') = 0 \,, siendo \alpha,\beta \in \R \,.

Transformaciones en el espacio afín

...


Ejercicios

Enunciados y soluciones

1.-

Demuéstrese que los planos \pi \equiv 4x -\alpha y + 8z - 5 = 0 \, y \pi' \equiv 2x - 3y + 4z + 6 = 0 \, son paralelos precisamente si \alpha = 6 \, y hállese la ecuación del plano paralelo medio.

Sol.:

...

Bibliografía

  • Anzola, Máximo y Caruncho, José (1981) Problemas de Álgebra. Tomo 6. Geometría Afín y Euclidea. Edición propia, Madrid. (Capítulos 5 y 6).
  • Ríos, Sixto (1974) Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría. ICE, Madrid. (Capítulos 6 y 7).
  • Sánchez, Rafael (1992) Ejercicios de Álgebra Lineal, Edición propia, Granada. (Capítulos 7 y 8).


Enlaces externos

  • ...


INDEX

  • EUNIMAT (Enciclopedia Universal Ilustrada de la MATemática)


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© Juan Miguel León Rojas, 2010.


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