Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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Espacio métrico

De Epistemowikia

Tabla de contenidos

Introducción

Las consultas basadas en similitud se constituyen en un paradigma de búsqueda para muchísimas aplicaciones, como bases de datos multimedia, minería de datos (data mining), reconocimiento de patrones, biología molecular, comercio electrónico, o la búsqueda en Internet, por poner varios ejemplos.
En esencia, la respuesta a una consulta sobre similitud consiste en encontrar, en una colección determinada de objetos, aquellos cuya disimilitud respecto de la especificación solicitada por la consulta, sea la menor. Pero, no cabe duda, de que la efectividad de tales consultas se vería incrementada si la especificación de la misma, además de incluir al «estereotipo» buscado, incluyese el criterio de similitud que el usuario preferiría que fuese utilizado para resolver la búsqueda. La representación vectorial de las características de un objeto está ampliamente extendida —no tenemos más que pensar en lo manido del término «vector de características»—. Sin embargo, podemos obviar tal representación, considerando una n-tupla ordenada de características como un elemento de un espacio métrico. La idea clave de los métodos de acceso métrico (Metric Access Method, MAM) se basa en la utilización de la propiedad triangular de la métrica.


Intuiciones acerca de las distancias

En este tema lo que intentaremos es acercarnos un poco al mundo de la medida, de la distancia entre cosas y todo lo que sobre esto se puede saber. Para empezar, lo que tenemos que definir es la forma de medir, qué medimos, es decir, la distancia. Para comenzar, intentaremos expresar y demostra una serie de ideas que todos tenemos en mente, y que enprincipio podrían caractrizar a la distancia.

Una función d: E x E -> R, diremos que es una distancia en E [(x,y) -> d (x,y)] si y solo si ∀ x,y,z se verifica que:

1. La distancia es siempre mayor o igual a cero, pues si fuese negativa indicaría solamente sentido en algunos casos, pero aquí nos da igual el sentido, por tanto siempre será positiva o nula, es decir:

d(x,y) ≥ 0 2.La distancia entre un objeto y él mismo valdrá 0 (siempre y cuando el tiempo no influya):

∀x∈E, d (x, x) = 0 Lo que también se puede expresar de la siguiente forma:

(∀x,y∈E)(x=y ↝ d(x,y)=0)

¿Podemos asegurar que si la distancia entre dos elementos es 0, esos dos elementos son en realidad el mismo? Es decir, ¿podemos demostrar la implicación contraria del punto 2? En principio parece que sí, pero no está del todo claro.

3.La distancia no siempre tiene por qué ser simétrica. Como podemos ver en la realidad, para ir de un sitio a otro no siempre tardamos el mismo tiempo ni recorremos el mismo espacio. Un claro ejemplo es una calle de circulación en sentido único. Para ir de un punto a otro, siguiendo el sentido, podemos ir en línea recta, pero si queremos hacer el camino contrario habrá que tomar otra trayectoria, que será mayor que la que tenemos, por tanto no podemos asegurar que la distancia sea simétrica.

4.Desigualdad triangular. Esta propiedad se enuncia de la siguiente forma:

(∀x,y,z∈E)(d(x,y)≤(d(x,z)+d(z,y)))


A partir de estas intuiciones que tenemos, vamos a intentar comprobar si una serie de cosas a las que llamamos distancia cumplen estas propiedades:


DISTANCIA EN LA RECTA REAL

d: ℝ x ℝ ↝ ℝ+

(x,y) ↦ d(x,y)=|x-y|

El punto 1 lo supondremos, por convenio, cierto para cualquier distancia. El punto 2 es fácil de comprobar:

d(x,x)=|x-x|=0

Y también observamos que si la distancia entre dos elementos es 0, ambos elementos son el mismo, pues el valor absoluto solo vale 0, si lo de dentro es 0, y por tanto x – y= 0 → x = y.

El punto 3 también se cumple:

d(x,y)=|x-y|, d(y,x)=|y-x|, y como los valores absolutos son los mismos, llegamos a que d(x,y)=d(y,x)

En este caso comprobamos que sí es reflexiva.

El punto 4 se ve claramente en el dibujo de la recta real. Pues para ir de un sitio a otro, ya que los puntos están todos alineados, podemos ver que la suma de dos distancias es igual a la tercera. En este caso además no solo es mayor, sino que también es igual, podemos decir que es siempre igual.


DISTANCIAS INVENTADAS

Podemos definir cualquier otro tipo de distancia y comprobar si cumple las propiedades anteriores. Por ejemplo:

(ℝ,d)

(∀x,y∈ℝ)(d(x,y)=|x-2y|

Podríamos ir paso a paso y comprobar las 4 propiedades, pero en este caso no será necesario, pues a primera vista encontramos un error:

¿∀x∈ℝ, d(x,x)=0?

d(x,x)=|x-2x|=|-x|=x

Como hemos comprobado, esta propiedad solamente es válida para el 0, pues para cualquier otro elemento, la distancia a sí mismo es distinta de 0.

Tampoco es simétrica. Lo comprobamos con un ejemplo:

d(1,2)=|1-2·2|=3, d(2,1)=|2-2·1|=0, y llegamos a que 0=3, lo que es falso.

Podemos decir que esta distancia no cumple nuestras intuiciones para serlo.


Definiremos otra a continuación:

(ℝ,δ)

δ(x,y)=(x-y)2

Si comprobamos la desigualdad triangular en este caso, vemos que tampoco la satisface, luego no será una distancia válida:

¿(∀x,y,z∈E)(δ(x,y)+δ(y,z)≥ δ(x,z)?

δ(0,2)=4; δ(0,1)=1; δ(1,2)=1. Si ahora sustituimos en la anterior ecuación vemos que no se cumple, pues la suma de los dos tramos es menor que la suma en un tramo.


Puesto que no cumple la desigualdad triangular, podemos afirmar que no es una distancia.

DISTANCIA DISCRETA

(E≠0,dd)

dd= 0 si x=y; 1 si x≠y

Podemos ver que dd es una aplicación del siguiente tipo:

dd: E x E ↝ {0,1} ⊂ ℝ+

Es decir, que un elemento está a distancia 0 de sí mismo y a distancia 1 de todos los demás. A continuación veremos si cumple las propiedades anteriores para ser llamado distancia.

El punto 2es trivial, pues por definición la distancia de un elemento a sí mismo es 0.

En el punto 3 puede haber dos posibilidades:

- Si x = y, la distancia será 0, por definición.

Similitudes, disimilitudes, distancias y métricas

Véase el documento «Comparar para aprender» (.pdf)
(también una diapositiva esquemática (⇛ iniciar presentación; en formato de OpenOffice 1.1.3 Impress).

Bolas y esferas. Conjuntos convexos

Es necesario que definamos bolas y esferas, pues luego nos van a ayudar a definir otros conceptos, como pueden ser conjuntos abiertos y cerrados o puntos interiores, exteriores y frontera.

Comencemos diferenciando entre bolas abiertas y cerradas, y esferas. Supongamos, como siempre, que estamos trabajando en un espacio métrico (E,d) siendo E un conjunto no vacío y d una métrica cualquiera. Sean x0∊E y r∊ℝ+.

Una bola abierta (o disco abierto) de centro x0 y radio r es el conjunto de objetos del espacio que están a una distancia de x0 menor que el radio r, {x∊E: d(x,x0)<r}, y suele notarse B(x0,r) (o D(x0,r), caso de que se le denomine disco).

Una bola cerrada (o disco cerrado) de centro x0 y radio r es el conjunto de objetos del espacio que están a una distancia de x0 menor o igual que el radio r, {x∊E: d(x,x0)≤r}, y suele notarse B[x0,r] o B̅(x0,r)(resp., D[x0,r] o D̅(x0,r)), caso de que se le denomine disco), si bien la notación B̅ produce confusión, con la adherencia o incluso con el complementario. El hecho de que la distancia pueda ser menor o igual que el radio es lo que la distingue de la bola abierta.

Una bola abierta perforada, o reducida, es el conjunto B*(x0,r) = B(x0,r) − {x0} y una bola cerrada perforada es B*[x0,r] = B[x0,r] − {x0}.

Una esfera de centro x0 y radio r es el conjunto de objetos del espacio que están a una distancia r del centro x0, {x∊E: d(x,x0)=r}, y suele notarse S(x0,r). En realidad, es la bola cerrada menos la bola abierta: S(x0,r)=B[x0,r]-B(x0,r)

Si se dice simplemente bola (o disco) se sobreentiende bola abierta. A veces, a las bolas abiertas y cerradas y esferas, para evitar ambigüedades, se le acompaña de un subíndice, que hace referencia a un espacio métrico o a una métrica concreta. Así, por ejemplo, BM(x0,r) se refiere a que es una bola en un espacio métrico denominado M, sin especificar ni su conjunto soporte E, ni su métrica; B(x0,r) a que es una bola en un espacio métrico cuya métrica ∆, sin especificar su conjunto soporte.

Incluso si la asignación básica de comparación (a.b.c.) no es métrica, también podemos hablar de bolas y esferas. En estos casos hemos de tener cuidado si la a.b.c. no es simétrica, pues entonces debemos considerar dos bolas, según la orientación: B-(x0),r)={x∊E: d(x,x0)<r} y B+(x0),r)={x∊E: d(x0,x)<r}.

Ejemplos

  • Sea (ℝ,dinf), con dinf(x,y)=inf{|x1-x2|,|y1-y2|}
  • Sea (ℝ,∆), con ∆(x,y)=|x2-y|

Forma geométrica de las bolas según las distintas métricas

Cada bola en su mundo es «esférica», por ejemplo, la correspondiente a la distancia euclidea d2, en (ℝ2,d2):

B2 (x0,r) = {(x,y)∈ℝ2: d2((x,y),(x0,y0)<r} = {(x,y)∈ℝ2: (∣x−x02 + ∣y−y02)1/2 < r} = {(x,y)∈ℝ2: ∣x−x02 + ∣y−y02 < r2}

Si nos fijamos en la última expresión, y cambiamos «<» por «=» vemos que se trata de la ecuación de la circunferencia de centro (x0,y0) y radio r. Para la bola cerrada y la esfera el resultado sería el mismo, simplemente hay que cambiar los «<» por «≤» o «=», respectivamente. De este modo, en (ℝ2,d2), S2((x0,y0),r) es la circunferencia de centro (x0,y0) y radio r; B2[(x0,y0),r] es el círculo de centro (x0,y0) y radio r; B2((x0,y0),r) es el círculo abierto (sin la circunferencia) de centro (x0,y0) y radio r.

Ahora bien, si nos encontramos en un espacio métrico diferente al de la métrica, respecto de la cual queremos averiguar la forma de la bola, el resultado es distinto. A continuación, exponemos algunos ejemplos de la forma de distintas bolas, medidas en el espacio métrico (ℝ2,d2). Para ello, a partir de la expresión de la bola, tomaremos el caso más simple para intentar una representación en el plano euclideo (ℝ2,d2), centro (0,0) y radio 1.

Métrica de Manhattan: B1((x0,y0),r) = {(x,y)∈ℝ2: d1((x,y),(x0,y0) < r} = {(x,y)∈ℝ2: ∣x−x0∣ + ∣y−y0∣ < r}

Particularizando, tomamos centro (0,0) y radio 1: {(x,y)∈ℝ2: ∣x∣+∣y∣ < 1}. Para representar el «borde» de la bola (que en el caso de la bola abierta no estarían incluidos), sólo hay que resolver la igualdad ∣x∣+∣y∣ = 1. Para ello, particularizamos al primer cuadrante (x,y≥0): x+y=1, de donde, y=x−1 es la recta que determina el segmento de extremos (0,1) y (1,0) que en el primer cuadrante corresponde al borde de la bola. Como el resto de puntos debe satisfacer y<x−1, la intersección de la bola con el primer cuadrante es el triángulo ∆(0,0)(0,1)(1,0). Por simetría con el resto de cuadrantes, vemos que la bola queda un rombo de centro (0,0) y vértices (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1).

Métrica del supremo: Bsup((x0,y0),r) = {(x,y)∈ℝ2: dsup((x,y),(x0,y0) < r} = {(x,y)∈ℝ2: sup{∣x−x0∣,∣y−y0∣} < r}

De nuevo, particularizamos, tomando centro (0,0) y radio 1: {(x,y)∈ℝ2: sup{∣x∣,∣y∣} < 1}. Igual que en el caso anterior, para representar el borde de la bola, sólo hay que tomar la inecuación como una igualdad, y si además, particularizamos al primer cuadrante (x,y≥0): sup{x,y}=1, lo que corresponde a las rectas x=1 e y=1, determinantes del segmento de extremos (0,1) y (1,0) que en el primer cuadrante corresponde al borde de la bola. Como el resto de puntos debe satisfacer x<1 e y<1, la intersección de la bola con el primer cuadrante es el cuadrado (0,0)(0,1)(1,1)(1,0), sin los lados (0,0)(0,1) ni (0,0)(1,0). Por simetría con el resto de cuadrantes, vemos que la bola queda un rombo de centro (0,0) y vértices (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1).y obtendremos un cuadrado, de centro (0,0) y vértices (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1).

Bolas cerradas de las métricas de Minkowski, representadas en (ℝ2,d2):de izqda. a dcha., d1, d2, d∞, y todas: 1≤p<q → Bp⊂Bq
Bolas cerradas de las métricas de Minkowski, representadas en (ℝ2,d2):
de izqda. a dcha., d1, d2, d, y todas: 1≤p<q → Bp⊂Bq

Métrica discreta: Bd((x0,y0),r) = {(x,y)∈ℝ2: dd((x0,y0),(x,y)) < r}

La distancia discreta es un tanto especial. Recordemos que tan sólo puede ser 0 si x=x0 ó 1 si x≠x0. Por tanto, podemos encontrar tres casos diferentes:

si r<1, entonces, la bola sería únicamente {(x0,y0)}
si r=1, entonces, igual que en el caso anterior, {(x0,y0)}
si r>1, entonces, la bola sería todo ℝ2

Conjuntos convexos

Sea (E,d) un espacio métrico. Sea A ⊆ E, A≠∅. Se dice que A es convexo en (E,d) si y sólo si (∀ x,y∊A) (∀λ∊(0,1)) (λx+(1−λ)y∊A).

Ejemplo

  • Las bolas (abiertas y cerradas) son convexas. Las bolas perforadas y las esferas, no. En efecto, veamos, por ejemplo, que una bola abierta, B(x0,r), es un convexo. Esto es, ¿(∀ x,y∊B(x0,r)) (∀λ∊(0,1)) (λx + (1−λ)y ∊ B(x0,r))? El hecho de que x,y∊B(x0,r), significa que |x − x0| < r, |y − x0| < r, por lo que |λx + (1−λ)y − x0| = |λ(x − x0) + (1−λ)(y − x0)| ≤(∗) λ|x − x0| + (1−λ)|y − x0| < λr + (1−λ)r = r.
    (∗) ya que (∀a,b∊ℝ) (|a+b|) ≤ |a| + |b|)

Separación entre conjuntos

Se entiende por separación entre 2 conjuntos como la menor de las distancias entre ambos.

(E,d) e,m --> Espacio métrico.

sean los conjuntos A,B ⊆ E donde E es el conjunto total, la separación entre A y B es igual al infimo de las distancias entre a, que es un punto del conjunto A y b que es un punto del conjunto B. De forma matemática: --> SEP (A,B) = inf{d(a,b):a ∈ A ⋀ b ∈ B}

¿Que separación?¿Es una métrica SEP en 2E?

1) Para todo conjunto A perteneciente a E (Espacio), ¿La separación entre A y sí mismo es 0?

Si porque la separación entre A y sí mismo es igual al infimo de las distancias entre dos puntos pertenecientes a A, x e y. Esto es igual a 0 debido a que a ser los dos puntos del mismo conjunto el infimo de las distancias es la distancia entre un punto del conjunto A y el mismo punto. De forma matemática tenemos: ∀A⊆E, SEP (A,A)=0? --> SEP (A,A)=inf {d(x,y):x,y ∈ A}=0 ya que inf d(x,y)= d(x,x)=0 Con esto se prueba que la separación en 2E es una asignación básica de disimilitud.

2) Comprobar la simetría. Dados dos conjuntos A y B pertenecientes a E. ¿Es la separación de A respecto de B igual a la separación de B respecto de A? ¿SEP(A,B)= SEP(B,A)? Podemos decir que sí ya que la separación de A respecto a B es la distancia entre a y b,dos puntos, a que pertenece a A y b que pertenece a B, y esto es igual a la distancia de b a a tal que b pertenece a B y a pertenece a A y llegamos a que es lo mismo que la separación entre B y A. Equivalente a: SEP (A,B)= {d(a,b): a ∈ A ∧ b ∈ B} = {d(b,a): b ∈ B ∧ a ∈ A}= SEP (B,A) Comprabada la simetría llegamos a que la separación es una Disimilitud

3) Vamos a comprobar si es definida positiva. Dados dos conjuntos A y B que pertenecen a E (recordemos que es el espacio), ¿Si la separacion entre A y B es igual a cero quiere decir que A=B? ¿SEP (A,B)=0 --> A=B? Vamos a ver que no se cumple. Basta ver que si la intersección de A y B no es vacía, o lo que es lo mismo, comparten algún punto, la distancia de ese punto a sí mismo es igual a 0 siendo A≠B. De forma matemática tenemos que: A ∩ B ≠ ∅ Si x ∈ A ∧ x B --> d(x,x)= 0 Con esto llegamos a que la separación no es distancia --> por lo cual no es métrica.

4) Veamos la distancia triangular. Hay que ver que, si dados tres conjuntos, A,B y C por ejemplo, la distacia de A a B es igual a la distancia de A a B más la distancia de B a C Se comprueba fácilmente que no va a ser así ya que puede darse que la separación entre A y C sea 0, siendo A≠C, o sea que ambos conjuntos comparten al menos un punto que hace que la intersección de los dos sea vacía y que la separación entre A y B no sea igual a 0 porque la intersección entre A y B sí que sea vacía. Con esto que hemos dicho --> SEP (A,C) ≠ SEP (A,B) + SEP (B,C) No cumple la propiedad triángular


La separación entre un punto y un conjunto es igual al infimo de las distancias entre ese punto y los puntos a los que engloba el conjunto. De otra forma: SEP ({x},A)= inf{d(x,a): a ∈ A}

El diámetro de un conjunto se halla midiendo todas las distancias posibles y viendo cual es la mayor. El diámetro es el supremo de las distancias entre dos puntos x e y que pertenecen a un conjunto A cualquiera. --> Diámetro= sup{d(x,y): x,y ∈ A}

Conjuntos acotados

Un conjunto está acotado en el espacio métrico cuando tiene diámetro finito. El conjunto (a,b) es acotado en (ℝ,d2) El conjunto (a,→) no es acotado en (ℝ,d2)

¿Es acotado el conjunto (a,→) en (ℝ,dd)? En (ℝ,d2) no sería acotado pero como estamos en las distancias discretas, las mismas sólo son o 1 o 0 así que el supremo de las distancias entre dos puntos del conjunto es igual a uno sup{d(x,y) : x,y ∈ (a,→)}= 1

El diámetro de un punto aislado es igual a cero --> Diámetro {x}=0 El diámetro del conjunto vacio es igual a cero --> Diámetro ∅ = 0

Propiedades de los conjuntos acotados

1º) Si un conjunto A está incluido en otro conjunto B, el diámetro de A es menor que el diámetro de B: A ⊆ B --> diam A ≤ B

2º) A es acotado si y solo si existe un punto "x" perteneciente al espacio y un radio "r" del conjunto de los reales positivis tal que A está incluida el la bola de centro x y radio r. A es acotado ⇔ (∃x ∈ E)(∃r ∈ ℝ+)(A ⊆ B(x,r))

⇐| Si se da que B estaá dentro del conjunto A el diámetro de B es finito por tanto B ⊆ A.

⇒| Si tenemos un conjunto con diámetro y hay que coger un punto dentro del conjunto con r > y y así formamos una bola en la cual está incluida el conjunto de diametro y.

3º) La unión finita de conjuntos acotados es acotada. Sin embargo la unión infinita de conjuntos acotados no es acotada. Ejemplo: El conjunto de números naturales, que no es acotado

Espacio métrico producto

Aunque en las clases teoricas no hemos profundizado a cerca de este tema, pienso que puede ser de utilidad tener las siguientes notas:

Definiremos un espacio métrico usando el conjunto ℝ3, y la distancia definida de la siguiente forma:

Dependiendo del valor de p iremos obteniendo distintos tipos de distancias, y todas ellas forman lo que conocemos con el nombre de Familia de las métricas de Minkowski.

Un caso concreto sería la d (p = infinito), en donde tendríamos que:

d(u,v)=d((u1,u2,u3),(v1,v2,v3))=sup {|u1-v1|,|u2-v2|,|u3-v3|}

Generalizando, para un espacio ℝn, cada vertor tendría n componentes, y por tanto, las distancias antes mencionadas ahora serían:

Rn=R x R x ... x R = R x R n-1

Por tanto, la distancia sería

dp(u,v)=dp((u1,u2,u3,...,un),(v1,v2,v3,...,vn))

Conjuntos abiertos y cerrados

Definición de Conjunto Abierto en (E,d) e,m Sea A un conjunto incluido en el espacio: A es abierto si y solo si para todo x perteneciente al conjunto A existe un radio tal que la bola de centro x y radio r esta incluida o es igual al conjunto A. A es abiero ⇎ (∀x ∈ A)(∃r ∈ ℝ2)(B(x,r) ⊆ A)

Si tomamos un punto del borde es imposible encontrar una bola que esté totalmente contenida en el conjunto.

Ejemplos:

El conjunto (a,b)= {x ∈ ℝ : a < x < b} por tanto este conjunto es abierto.

El conjunto (a,→)= {x ∈ ℝ : a < x} por lo que este conjunto es también abierto.

El conjunto (a,b) es abierto si y solo si para todo punto del conjunto podemos encontrar una bola de radio r perteneciente a los reales positivos y con centro en x tal que esa bola este incluida o sea igual al conjunto. (a,b) es abierto ⇔ (∀x ∈ (a,b))(∃r ∈ ℝ+)(B(x,r) ⊆ (a,b))

Hay que cojer un radio más pequeño que la más pequeña de las distancias a a y b repecto de x.

[a,b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b} no es abierto ya que si conjemos una bola de centro en a: (a-r,a) ⊈ [a,b)

Coger una bola en la recta (ℝ,d2) para los naturales no es posible porque podemos encontrar un natural que sea cual sea la bola no esta contenida en los Naturales. Lo mismo ocurre con ℤ y con ℚ. Al coger una bola hay que ver que todos los elementos que cojan sean del propio conjunto.

En (E,d) e.m sea un conjunto A perteneciente al espacio, A ⊆ E; A es cerrado si y solo si su complementario es abierto. ≡ E\A es abierto en (E,d)

en (E,dd) sea A ⊆ E, ¿Será A abierto?

A es abierto significa que para todo punto del conjunto A existe una bola de radio r tal que dicha bola con centro en x y radio r está incluida o es igual al conjunto A. A es abierto ≡ (∀x ∈ A)(∃r ∈ R+)(B(x,r) ⊆ A)

En la distancia discreta las bolas de la forma (x,r<=1) son iguales al elemento x, por tanto existe para r ≤ 1. Para todo x que pertrenezca a A podemos decir que la bola esta contenida en A. En un espacio métrico discreto todas las bolas son abiertas. En (E,dd) todos los conjuntos son abiertos y cerrados.

En la recta real euclídea el conjunto [a,b] es cerrado porque el complementario del conjunto en ℝ es (↜,a) ⋃ (b,↝), que es abierto porque la unión cualquiera de abiertos es abierta. Otro Tipo de conjuntos sería los que no son abiertos ni cerrados por ejemplo el conjunto [a,b), no es ni abierto ni cerrado, porque ni el es abierto, ni su complementario lo es, por tanto el conjunto tampoco es cerrado. ℝ\[a,b)=(↜,a) ⋃ [b,↝) no es abierto ni cerrado porque la bola de centro en b no está totalmente contenida en el conjunto.

Por ello podemos definir 4 tipos de conjuntos:

- Abiertos;
- Cerrados;
- Abiertos y cerrados;
- Ni abiertos ni cerrados;

Ejemplos de cada uno:

(a,↝) es abierto
(↜,a) es abierto
[a,↝) es cerrado porque (↜,a)(su complementario) es abieto
ℕ es cerrado porque su complementario es abierto(unión de intervalos abiertos)
ℚ no es abierto en (ℝ,d2)
ℝ\ℚ = (Imaginarios) que sigue sin ser abierto porque entre p y q pertenecientes al conjunto de imaginarios puedes encontrar un punto o más que pertenezcan a los racionales (ℚ). Por ello ℚ no es cerrado
Por tanto ℚ no es ni abierto ni cerrado en la recta euclídea.

Ej.: En (ℝ,d2), el conjunto A={7 + (-1)n(1/n) : n ∈ ℕ+} vemos que el conjunto está conpredido entre 6 y 7+1/2, y para valores grandes de n se acerca alternativamente por la derecha si n es par, o por la izquierda si n es impar al número 7 que no pertenece al conjunto dado.
Propiedades de este conjunto:
1.- El conjunto está acotado por el 6 y el 7+1/2.
2.- Como no podemos coger ninguna bola bola que este contenida en el conjunto totalmente, dicho conjunto no es abierto.
3.- Su complementario tampoco porque es una unión de abiertos, pero también hay que unirle un punto el {7} que hace que ℝ\A no sea abierto.
ℝ\A no es abierto porque (∃x=7 ∈ ℝ\A)(∀r ∈ ℝ+)(B(7,r)⊈ ℝ\A)

En (ℝ,dd) Todos los conjuntos son abiertos y cerrados.
En (ℕ,d2

Entorno de un conjunto

Supongamos que estamos en un espacio métrico cualquiera (E,d). Sean x ∊ E, A ⊆ E, A ≠ ∅.

A es un entorno de x ≡ (∃ θ ⊆ E)(θ es abierto ⋀ x ⊆ θ ⊆ A)

Por ejemplo, en (ℝ, d2) (0, 7) es entorno de 1, ya que hay un abierto, en este caso valdría con el (0, 7), que contiene a x (=1) y está contenido en el conjunto [(0, 7) ⊆ (0, 7)]

Como consecuencia de lo anterior, podemos decir que un conjunto es abierto si y solo si es entorno de todos sus puntos

A es abierto ≡ A es entorno de todos sus puntos

Algunas características importantes de estos entornos pueden ser las siguientes.

1. La intersección finita de entornos de un punto también es un entorno de ese punto.

2. Si A es entorno de x, y además, A está incluido en B, llegamos a que B también es entorno de x. Que se puede expresar también como B ∈ V(x) ó B ∊ N(x)

El término V hacer referencia a vecindad de conjuntos, y el N viene del inglés neighbourhood (vecindad).



① ¿El conjunto de todos los racionales, ℚ, es entorno de algún número real? Ello dependerá del espacio métrico en que nos encontremos.

- En (ℚ, d2) sí es entorno de todos, porque ℚ es abierto, y por tanto, es entorno de cualquier x de ℚ. ℚ = ℇ (x), x ∈ ℚ ≡ ∃ (θ = ℚ ⊆ ℚ) (θ es abierto ∧ x ∈ θ ⊆ ℚ) - En (ℝ, d2) ℚ no es entorno de ningún punto, pues no podemos encontrar ningún conjunto abierto que sea solamente racional, pues entre los números racionales siempre hay intercalados números reales.


② ¿El conjunto A es entorno de alguno de sus elementos en (ℝ, d2? A = {7 + (-1)n · 1/n : n ∊ ℕ+}

Para que lo fuese es necesario que A contenga algún conjunto abierto, pero esto no ocurre, este conjunto no tiene ningún abierto, ninguna bola abierta, por tanto, no es entorno de ninguno de sus elementos.

Si estuviésemos en (ℝ, dd), como todos los conjuntos son abiertos, todos los elementos tendrían como entorno a A, y además, podemos generalizar, y decir que, en dd todos los conjuntos ≠ ∅ son entorno de sus elementos.

Puntos interiores, exteriores y frontera

Sea (E,d) un espacio métrico. Vamos a clasificar los puntos del espacio en referencia a un subconjunto determinado del mismo. Distinguiremos tres tipos de puntos, aquéllos que están «dentro» del conjunto, caracterizándolos por poder encontrar una bola centrada en ellos y contenida en el conjunto (puntos interiores); los puntos exteriores serán los que están «fuera» del conjunto (esto es, «dentro» del complementario), y los caracterizaremos por poder encontrar una bola centrada en ellos y contenida en el complementario del conjunto. Finalmente, de otros puntos no podremos decir ni que están «dentro» ni que están «fuera» del conjunto, son los puntos frontera; estos los caracterizamos por el hecho de que cualquier bola centrada en ellos tiene intersección con el conjunto y con el complementario.

Puntos interiores, exteriores y frontera
Puntos interiores, exteriores y frontera

Puntos interiores

Sea A ⊆ E, A≠∅. Decir que x∊E es punto interior de A, equivale a decir que (∃r∊ℝ+) (B(x,r)⊆A). Al conjunto de puntos interiores de un conjunto A se le conoce como interior de A, y suele notarse Å, int(A) ó Aº (aunque estas dos últimas notaciones se deben a cuestiones tipográficas).
Observemos que podríamos haber definido punto interior de A como aquél punto de A, para el que existe algún entorno suyo contenido en A. Por la primera caracterización de conjunto abierto como entorno de todos sus puntos (teorema 2.54), las definiciones por entornos o por bolas son equivalentes. Es por ello por lo que el siguiente resultado, una tercera caracterización de conjunto abierto, es más que evidente:
A ⊆ E es abierto en (E,d) ≡ A=Å
Algunas propiedades destacables del interior de un conjunto son:

Teorema (algunas propiedades del interior).- ∀ A,B ⊆ E

  1. Å ⊆ A
  2. int(int(A)) = int(A), es decir, Å es abierto
  3. Å es el mayor abierto contenido en A, concretamente es la unión de todos los abiertos contenidos en A
  4. A ⊆ B ⇒ int(A) ⊆ int(B)
  5. int(A∩B) = int(A) ∩ int(B)
  6. int(A) ∪ int(B) ⊆ int(A∪B)
  7. x∊Å ⇔ SEP({x}, E\A) > 0

Dem.:

  1. Si x∉A, entonces, ninguna bola de centro x está incluida en A, pues su centro, x, no es de A.
  2. El que Å es abierto, es evidente por definición; sea O subconjunto abierto de A, sea x∊O, por ser abierto, (∃ r∊ℝ+) (B(x,r) ⊆ O) y como O⊆A, la bola está en A, y por tanto, x∊Å.
  3. Cierto, por ser el interior un conjunto abierto del espacio.
  4. Cierto, a partir de la definición de inclusión de conjuntos.
  5. Cierto, a partir de las definiciones de inclusión e intersección de conjuntos.
  6. Cierto, a partir de las definiciones de inclusión y unión de conjuntos.
  7. Si SEP({x}, E\A) = 0, entonces no existe B(x,r) ⊆ A, por definición de ínfimo. Si SEP({x},E\A) = s > 0, basta coger la bola B(x, s).

¡Ojo! Podríamos pensar que SEP(Å, E\A) = 0, y que Å y E\A son conjuntos tangentes, pero esto no tiene por qué ser cierto. Sea el espacio métrico ({1,2}, dd), si A = {1}, entonces, Å = {1} y E\A = {2}, por lo que SEP(Å, E\A) = 1. Lo que sí es cierto, es que SEP(Å, A) = 0, pues Å ⊆ A.

Puntos exteriores

Sea A ⊆ E, A≠∅. Decir que x∊E es punto exterior de A, equivale a decir que (∃r∊ℝ+) (B(x,r)⊆E\A). Al conjunto de puntos exteriores de un conjunto A se le conoce como exterior de A, y suele notarse ext(A). Observemos que ext(A) = int(E\A).

Teorema (algunas propiedades del exterior).- ∀ A,B ⊆ E

  1. ext(A) ⊆ E\A
  2. int(ext(A)) = ext(A), es decir, ext(A) es abierto
  3. ext(A) es el mayor abierto contenido en E\A, concretamente es la unión de todos los abiertos contenidos en E\A
  4. E\A ⊆ E\B ⇒ ext(A) ⊆ ext(B)
  5. ext(A∪B) = ext(A) ∩ ext(B)
  6. ext(A) ∪ ext(B) ⊆ ext(A∩B)
  7. x∊ext(A) ⇔ SEP({x}, A) > 0

Dem.: Son consecuencia inmediata de las propiedades vistas para el interior y de que ext(A) = int(E\A).


Puntos frontera

Sea A ⊆ E, A≠∅. Decir que x∊E es punto frontera de A, equivale a decir que (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅ ∧ B(x,r)∩(E\A)≠∅). Al conjunto de puntos frontera de un conjunto A se le conoce como frontera de A, y suele notarse δ(A), o fr(A).

Distinguiremos entre frontera interna y frontera externa. Sus definiciones y notaciones son, respectivamente, δi(A) = δ(A)∩A, y δe(A) = δ(A)∩(E\A).


Teorema (algunas propiedades de la frontera).- ∀ A ⊆ E

  1. {int(A), ext(A), δ(A)} es una partición de E
  2. δ(A) es cerrado
  3. δ(A) = δ(E\A)
  4. A = Å∪δi(A)
  5. x∊δ(A) ⇔ SEP({x}, A) = 0 ∧ SEP({x}, E\A) = 0

Dem.:

  1. Debido a las definiciones de interior, exterior y frontera, resulta claro que Å∩δ(A)=∅ y ext(A)∩δ(A)=∅. También es cierto que Å∩ext(A)=∅, pues Å⊆A y ext(A)⊆E\A. Por otro lado, x∉Å ⇒ (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩(E\A)≠∅), y x∉ext(A) ⇒ (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅), por lo que, si x∊E\(Å∪ext(A)), entonces, (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅ ∧ B(x,r)∩(E\A)≠∅), esto es, x∊δ(A).
  2. δ(A) es el complementario de Å ∪ ext(A), siendo por tanto abierto, por ser unión de abiertos, así que, δ(A) es cerrado.
  3. Trivial
  4. En efecto,
    [⊆]: (∀ x∊A) (x∊Å ∨x∊A\Å); si x∊A\Å, entonces, toda bola tiene intersección con A (al menos está x) y tiene intersección con E\A (si B(x,r)∩(E\A)=∅, entonces, B(x,r)⊆A, lo que implicaría que x∊Å, en contra de que no pertenece); por tanto, x∊A\Å ⇒ x∊δ(A), y como x∊A, se tiene que x∊δi(A).
    [⊇]: es clara, a partir de las definiciones de interior y frontera interior.
  5. Resulta de las caracterizaciones por separación del interior y del exterior. De todos modos, observemos que (∃ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅)⇏SEP({x}, A) = 0; sin embargo, (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅) ⇒ SEP({x}, A) = 0.

Teorema (cuarta caracterización de conjunto abierto).- ∀ A ⊆ E, A es abierto en (E,d) si y sólo si δi(A) = ∅.
Dem.:
[⇒]: A es abierto ⇔ A = Å, por tanto, δi(A) = δ(A)∩Å, y esta intersección es vacía, por ser {Å, ext(A), δ (A)} una partición de E;
[⇐]: si δi(A) = ∅, entonces, como A = Å∪δi(A), se tiene que A= Å, y por tanto, A es abierto.

Teorema (segunda caracterización de conjunto cerrado).- ∀ A ⊆ E, A es cerrado en (E,d) si y sólo si δe(A) = ∅, es decir, si y sólo si δ(A) ⊆ A.
Dem.: En efecto, por el teorema anterior, A es abierto ⇔ δi(A) = ∅, lo que equivale a que δ(A)= δe(A) , lo que, por definición de frontera exterior, equivale a que δ(A) ⊆ E\A.

Teorema (caracterización de conjunto abierto y cerrado).- ∀ A ⊆ E, A es abierto y cerrado ⇔ δ(A) = ∅.
Dem.: Ser abierto equivale a δi(A) = ∅, y ser cerrado equivale a δe(A) = ∅.

Ejemplos

  • Como δi([0,1)) = {0}, deducimos que [0,1) no es abierto en (ℝ,d2); por otro lado, como δ([0,1)) = {0,1} ⊈ [0,1), obtenemos que [0,1) no es cerrado en (ℝ,d2).
  • Sea (E,dd). ∀ A ⊆ E: Å = A, ext(A) = E\A, δ(A) = ∅ (puesto que cada punto del espacio puede aislarse en una bola de radio r≤1).
  • Para un cálculo efectivo de la frontera de un conjunto a partir de su interior y exterior, podemos usar el hecho de ser {Å , ext(A), δ(A)} partición de E, pues entonces δ(A) = E\(Å ∪ ext(A)). En particular, si A = (a,b] ∪ {c}, entonces, δ(A) = ℝ\((a,b)∪(−∞,a)∪(b,c)∪(c,+∞)) = {a,b,c}. Las fronteras interior y exterior, son, respectivamente, δi(A) = δ(A)∩A = {b,c} y δe(A) = δ(A)∩(E\A) = {a}.

Adherencia, derivado e isla de un conjunto

Puntos adherentes

Sea A ⊆ E, A≠∅. Decir que x∊E es punto adherente (de cierre o de clausura) de A, equivale a decir que (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅). Al conjunto de puntos adherentes de un conjunto A se le conoce como adherencia, cierre o clausura, de A, y suele notarse A̅, o adh(A).

Observemos que esta definición es equivalente a decir que x∊adh(A) si y sólo si (∀ r∊ℝ+) (∃ a∊A) (d(x,a) < r).

Teorema (algunas propiedades de la adherencia).- ∀ A ⊆ E

  1. adh(A) = Å ∪̇ δ(A), y por tanto, Å = adh(A) \ δ(A) y δ(A) = adh(A) \ Å
  2. {ext(A), adh(A)} es una partición de E
  3. adh(A) = E\int(E\A); adh(E\A) = E\Å
  4. δ(A) = adh(A) ∩ adh(E\A)
  5. adh(A) es el menor cerrado que contiene a A, (concretamente la intersección de todos los cerrados que contienen a A).

Dem.:

  1. [⊆]: x∊adh(A) ⇔ (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅); ahora bien, ocurre (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩(E\A)≠∅), en cuyo caso, x∊δ(A), o bien, ocurre que (∃ r∊ℝ+) (B(x,r)∩(E\A) = ∅), en cuyo caso, x∊Å.
    [⊇]: x∊Å ⇒ x∊A ⇒ (∀ r∊ℝ+) (x∊B(x,r)∩A) ⇒ (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅) ⇒ x∊adh(A). Por otro lado, y por definición de frontera, si x∊δ(A), entonces, x∊adh(A) ∧ x∊adh(E\A)
  2. Trivial, por ser {ext(A), int(A), δ(A)} una partición de E.
  3. Trivial, por ser ext(A)=int(E\A).
  4. x∊δ(A) ⇔ (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅ ∧ B(x,r)∩(E\A)≠∅) ⇔ (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅) ∧ (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩(E\A)≠∅) ⇔ x∊adh(A) ∧ x∊adh(E\A)
  5. Sea B⊇A, B cerrado de (E,d), demostremos que adh(A) ⊆ B. Por definición de cerrado, esto equivale a demostrar que (∀ B⊇A) (E\B abierto ⇒ E\B ⊆ E\adh(A)). Veámoslo: por definición de abierto, E\B es abierto si y sólo si (∀ x∊E\B) (∃ r0∊ℝ+) (B(x,r0) ⊆ E\B); por otro lado, B⊇A ⇒ E\B ⊆ E\A, por lo que la bola está contenida en el complementario de A, por lo que (∀ x∊E\B) (∃ r0∊ℝ+) (B(x,r0)∩A=∅), de donde x∉adh(A), esto es, x∊E\adh(A).

Ejemplos

  • Sean (ℝ,d2) y A = (a,b] ∪ {c}. Entonces, adh(A) = Å ∪ δ(A) = (a,b) ∪ {a,b,c} = [a,b] ∪ {c}, y también adh(A) = ℝ\ext(A) = ℝ\((−∞,a)∪(b,c)∪(c,+∞)) = [a,b] ∪ {c}.
  • Sean el espacio métrico (ℝ2,d2) y el conjunto A = {(x,sen(1/x)): x∊ℝ+}, que no es otra cosa que el grafo de la función f: ℝ+ → [−1,1], f(x) = sen(1/x). No resulta demasiado difícil comprobar que ∀ x∊ℝ+, los puntos (0,sen(1/x)) son de la adherencia de A.

Teorema (algunas propiedades más de la adherencia).- (∀ A,B ⊆ E) (∀x∊E):

  1. A ⊆ adh(A)
  2. A ⊆ B ⇒ adh(A) ⊆ adh(B)
  3. adh(A∪B) = adh(A) ∪ adh(B)
  4. adh(A∩B)  adh(A) ∩ adh(B)
  5. adh(A) = adh(adh(A))
  6. diám(A) = diám(adh(A))

Dem.:

  1. [⊆]:
    [⊇]: supongamos que x∉adh(A)∪adh(B), entonces, x∉adh(A) y x∉adh(B), o sea, que existen dos bolas, una, B(x,r1) que no tiene intersección con A, es decir, que para todo a∊A, d(x,a)>r1 y otra, B(x,r2) que no interseca a B, o sea, que para todo b∊B, d(x,b)>r2; sea r0 = mín{r1, r2}, entonces, para todo z∊A∪B, d(x,z)>r0, luego x∉adh(A∪B).
  2. De A∩B⊆A y A∩B⊆B deducimos, por (2), que adh(A∩B) ⊆ adh(A) y adh(A∩B) ⊆ adh(B), por lo que, por definición de intersección de conjuntos, adh(A∩B) ⊆ adh(A) ∩ adh(B). Un ejemplo donde no se da la inclusión contraria: A=(0,1) y B=[1,2), pues adh(A) = [0,1], adh(B) = [1,2], adh(A) ∩ adh(B) = {1} ⊈ ∅ = adh(∅) = adh(A∩B).
  3. Por (1), tenemos adh(A) ⊆ adh(adh(A)); veamos la inclusión contraria, adh(adh(A)) ⊆ adh(A): x∊adh(adh(A)) si y sólo si (∀ r1∊ℝ+) (B(x,r1)∩adh(A) ≠∅), esto es, existe algún y∊adh(A), tal que d(x,y)<r1, pero y∊adh(A) si y sólo si (∀ r2∊ℝ+) (B(y,r2)∩A≠∅), esto es, existe algún z∊A, tal que d(y,z)<r2; sea r0 = 2máx{r1, r2}, entonces, d(x,y)<r0/2 y d(y,z)<r0/2; por la desigualdad triangular, d(x,z) < r0, es decir, hemos concluido que ∀ r0∊ℝ+, existe algún z∊A, tal que d(x,z) < r0, o sea, (∀ r0∊ℝ+) (B(x,r0)∩A≠∅), esto es, x∊adh(A).

Teorema (caracterización de la adherencia por separación).- (∀ A ⊆ E) (∀x∊E):

  1. x∊adh(A) ⇔ SEP({x}, A)=0
  2. SEP({x}, A) = SEP({x}, adh(A))

Dem.:

  1. [⇒]: Supongamos que SEP({x},A)≠0, por definición de SEP, esto significa que el ínf{d(x,a): a∊A} ≠ 0, o lo que es lo mismo, por definición de ínfimo, (∃ r0∊ℝ+) (∀ a∊A) (d(x,a) > r0); la bola B(x,r0) = {z∊E: d(x,z) < r0} no tiene intersección con A, por lo que x∉adh(A).
    [⇐]: Por definición de ínfimo, SEP({x},A) = 0, significa que (∀r∊ℝ+) (∃ a∊A) (d(x,a) < r), lo que equivale a (∀r∊ℝ+) (∃ a∊A) (a∊B(x,r)), por tanto, (∀r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅), de donde, x∊adh(A).

Teorema (tercera caracterización de conjunto cerrado).- ∀ A ⊆ E, A es cerrado en (E,d) ⇔ A = adh(A).
Dem.: En efecto,
[⇒]: Veamos que adh(A) ⊆ A, o lo que es equivalente, E\A ⊆ E\adh(A). Al ser A cerrado, E\A es abierto; sea z∊E\A, como existe una bola abierta centrada en z, totalmente contenida en E\A, dicha bola no contiene ningún punto de A, por lo que z∉adh(A).
[⇐]: Demostremos que E\A es abierto. Razonemos por reducción al absurdo, dado z∊E\A, si no existiese una bola B(z,r) ⊆ E\A, significaría que en cualquier bola, centrada en z, habría puntos de A, por lo que z∊adh(A); pero esto es imposible, pues como A=adh(A), también es E\A = E\adh(A), pero z no puede estar a la vez en adh(A) y en E\adh(A).

Ejemplo

  • En un espacio métrico cualquiera, la adherencia de una bola abierta, está incluida en la bola cerrada del mismo centro y radio, esto es, adh(B(x,r)) ⊆ B[x,r]. La igualdad no tiene porqué ser cierta, basta pensar en un espacio métrico discreto, y en las bolas abiertas B(x,1) = {x}, iguales a su adherencia y distintas de las bolas cerradas B[x,1] = E. No obstante, en los espacios (ℝn, d2), sí es cierta la igualdad.

Como adh(A) = E\ext(A), el teorema anterior caracteriza los cerrados como aquellos conjuntos cuyo exterior es su complementario. Recordemos que el exterior de un conjunto no es más que el interior de su complementario y observemos el paralelismo con la caracterización de abierto por su interior:

A es abierto si y sólo si int(A) = A
A es cerrado si y sólo si int(E\A) = E\A

Puntos de acumulación y aislados

Sea A ⊆ E, A≠∅. Decir que x∊E es punto de acumulación de A, equivale a decir que (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅). Al conjunto de puntos de acumulación de un conjunto A se le conoce como derivado de A, y suele notarse A′, ac(A) o Ad.

Aquellos puntos adherentes, que no sean de acumulación, los llamamos puntos aislados. Sea A ⊆ E, A≠∅. Decir que x∊E es punto aislado de A, equivale a decir que (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A={x}), esto es, que podemos aislarlo del resto de puntos del conjunto en una bola. Al conjunto de puntos aislados de un conjunto A se le conoce como isla de A, y suele notarse is(A) o I(A).

Teorema (primeras propiedades).- (∀ A ⊆ E) (∀x∊E):

  1. ac(A) ⊆ adh(A)
  2. adh(A) = A ∪ ac(A)
  3. δe(A) ⊆ ac(A)
  4. {ac(A), is(A)} es una partición de adh(A)
  5. {ext(A), ac(A), is(A)} es una partición de E

Dem.:

  1. x∊δe(A) ⇔ x∊E\A ∧ (∀ r∊ℝ+) (B(x,r)∩A≠∅ ∧ B(x,r)∩(E\A)≠∅); si B(x,r)∩A≠∅, es que en la bola B(x,r) hay algún y∊A, e y≠x (pues x∊E\A), por lo que y está en la bola reducida; en definitiva, (∀ r∊ℝ+) (B∩A≠∅).
  2. Trivial, a partir del anterior.

Teorema (acerca de las particiones en espacios sin bolas unitarias).- En todo espacio métrico, (E,d), que no posea bolas unitarias (esto es, cuyas bolas abiertas contengan al menos dos puntos), se satisface, ∀ A ⊆ E:

  1. int(A) ⊆ ac(A)
  2. is(A) ⊆ δi(A)

En particular, se satisface en (ℝ,d2) y no se satisface en (E,dd).
Dem.:

  1. Sabemos que int(A) ⊆ A ⊆ adh(A). Sea x∊int(A), como int(A) es abierto, existe una bola centrada en x totalmente contenida en A; tal bola tiene, al menos dos puntos de A, por lo que es imposible que B(x,r)∩A = {x}. Debido a ello, x∊adh(A)\is(A)=ac(A).
  2. Debido al apartado anterior, un punto aislado debe ser de la frontera, como además debe pertenecer al conjunto (por definición de aislado), será de la frontera interior.

Ejemplos

  • adh(A) ⊈ ac(A). Pensemos, por ejemplo, en (ℝ,d2) y en A=ℤ: adh(ℤ)=ℤ y ac(ℤ)=∅.
  • La unión que aparece en la igualdad adh(A) = A ∪ ac(A), no es una unión disjunta, esto es, en general, no podemos «despejar»; no son ciertas las igualdades ac(A) = adh(A)\A, ni A = adh(A)\ac(A).
  • ac(A) ⊈ δe(A), pues, por ejemplo, en (ℝ,d2), si A = [1,2], entonces, ac(A) = [1,2] y δe(A) = ∅.
  • Cuando el espacio métrico es discreto, sea porque el conjunto soporte lo es, sea porque lo es la métrica, o contiene algún subespacio métrico discreto, entonces, tiene bolas unitarias; en este caso, puede que no se satisfaga lo postulado por el teorema anterior.Por ejemplo, si (E,dd), ∀ A⊆E, int(A)=is(A)=A y ac(A)=δi(A)=∅. Sea la sucesión de intervalos abiertos {In: n∊ℕ+}, definida por:
    I_n  = \left( {\frac{1}{{n + 1}},\frac{1}{n}} \right)
    Un ejemplo de espacio métrico, que incluye un subespacio métrico discreto, podría ser ℝ\{In: n∊ℕ+} con la distancia d2, que contiene el subespacio métrico ({1/n: n∊ℕ+}, d2) que es discreto, por serlo el conjunto soporte. Consideremos el conjunto A={1/n: n∊ℕ+}, entonces, A = int(A) ⊈ ac(A) = {0}, A = is(A) ⊈ δi(A) = {1}.


Conjuntos y espacios compactos

Consideremos un espacio métrico (E,d), A⊆E y una familia Φ de subconjuntos abiertos de (E,d), Φ={Oi: i∊I ∧ Oi es abierto}. Se dice que Φ es un recubrimiento por abiertos, recubrimiento abierto, o simplemente recubrimiento de A si y sólo si A es un subconjunto de la unión de todos los Oi, es decir:

\Phi  = \left\{ {O_i :i \in I} \right\}{\rm  es\ un\ recubrimiento\ de\ }A \Leftrightarrow A \subseteq \bigcup_{i \in I} {O_i }

Por recubrimiento, entenderemos, de aquí en adelante, recubrimiento por abiertos.

Dado un recubrimiento, Φ de A, llamamos subrecubrimiento de Φ, de A, a toda subfamilia de Φ.

Según el número de elementos de la familia de abiertos, adjetivamos recubrimiento (subrecubrimiento) finito, infinito numerable, infinito no numerable. Por ejemplo, sean (ℝ,d2) y A=[1,32); Φ={B(x,50): x∊ℝ} es un recubrimiento (infinito no numerable) de A=[1,32) ⊆⋃x∊ℝB(x,50) = ℝ; Φ1={B(x,50): x∊ℕ} es un subrecubrimiento infinito numerable pues A=[1,32) ⊆⋃x∊ℕB(x,50) = (−50,→); Φ2={B(n,50): n∊{1,2,3}} es un subrecubrimiento finito pues A=[1,32) ⊆ B(1,50) ∪B(2,50) ∪ B(3,50) = (−49,53).

Decimos que un conjunto A es compacto en un espacio métrico (E,d) si y sólo si de todo recubrimiento (por abiertos) de A es posible extraer un subrecubrimiento de tipo finito. En particular, si A=E y A es compacto, decimos que el espacio es compacto.

Claramente, si A es finito, A es compacto.

Resulta evidente que esta definición no constituye un método efectivo de demostración de que un conjunto es compacto. Su utilidad puede residir en demostrar precisamente lo contrario, que un conjunto no es compacto.

Ejemplos

  • ℝ no es compacto en (ℝ,d2). Pensemos en el recubrimiento Φ = {(−n,n): n∊ℕ+}. Consideremos una subfamilia finita Φk = {(−n1,n1), (−n2,n2), ..., (−nk,nk)} de Φ. La sucesión de intervalos {(−n,n): n∊ℕ+} es creciente, esto es, el siguiente incluye al anterior. Sea n0 = máx{n1, n2, ..., nk}, entonces, todo intervalo de Φk, y en particular la unión de todos ellos, está incluida en (−n0,n0), por lo que Φk no recubre a ℝ, las semirrectas (−∞,−n0) y (n0,+∞) no son recubiertas.
  • (0,1) no es compacto en (ℝ,d2). El razonamiento es similar al del ejemplo anterior. Sea el recubrimiento de (0,1), Φ = {(1/n, 1−1/n): n∊ℕ+\{1,2}}, que puede verse como una sucesión creciente de intervalos. No es posible que exista un subrecubrimiento finito suyo pues si así fuese, por ejemplo, Φk = {(1/n1, 1−1/n1), (1/n2, 1−1/n2), ..., (1/nk, 1−1/nk)} entonces al ser la sucesión creciente, todos ellos y en particular su unión, está incluida en (1/n0, 1−1/n0), donde n0 = máx{n1, n2, ..., nk}. Pero {(1/n0, 1−1/n0)} no recubre a (0,1), pues no recubre los intervalos (0, 1/n0) ni (1−1/n0, 1). Esto último es consecuencia de no existir ningún n0∊ℕ+\{1,2} tal que 1/n0 = 0.

Se dice que un conjunto es relativamente compacto si y sólo si su adherencia es un conjunto compacto. En (ℝ,d2) un conjunto es relativamente compacto si y sólo si es acotado. Un espacio métrico se dice localmente compacto si y sólo si todos sus puntos poseen un entorno compacto. (ℝ,d2) no es compacto pero sí es localmente compacto (basta tomar una bola cerrada centrada en un punto como entorno compacto de ese punto).

Teorema (propiedades de compactos).-

  1. Todo subconjunto cerrado de un compacto es compacto.
  2. La intersección de un cerrado y un compacto es compacto.
  3. La unión finita de compactos es compacto.
  4. La intersección cualquiera de compactos es compacto.

Dem.: En efecto:

  1. ...
  2. ...
  3. ...
  4. ...

Teorema (de Heine−Borel).- Todo conjunto compacto es cerrado y acotado.
Dem.: En efecto, ...

El recíproco depende del espacio métrico. (ℝn, d2) y en los espacios de dimensión finita es cierto, no siéndolo en los de dimensión infinita, por ejemplo en el espacio métrico de las funciones continuas (d(f,g) = sup |f(x)−g(x)|).

Teorema (de Heine−Borel−Lebesgue).- En (ℝ,d2), un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Dem.: En efecto, ...

Nota histórica: En 1898, E. Borel demuestra que de todo recubrimiento por intervalos abiertos de un intervalo cerrado y acotado [a,b] de números reales, puede extraerse un subrecubrimiento finito. A. Lebesgue, en sus obras entre 1900 y 1910, lo extiende a un recubrimiento por abiertos de un subconjunto cerrado y acotado de ℝn, y demuestra la equivalencia: un subconjunto de ℝn es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Se conoce por las denominaciones: teorema de Borel-Lebesgue, lema de Borel, o lema o teorema de Heine-Borel.

Propiedad de Bolzano−Weierstrass

Decimos que un subconjunto A de un espacio métrico (E,d) tiene la propiedad Bolzano−Weierstrass si y sólo si todo subconjunto infinito de A tiene algún punto de acumulación en A. Esto es, A verifica B−W ⇔ (∀ B⊆ A) (|B| = +∞→ B′∩A≠∅). Convenimos que un conjunto finito verifica la propiedad B−W. Observemos que demostrar que un conjunto A no verifica la propiedad de Bolzano−Weierstrass, equivale a encontrar un subconjunto infinito B de A, tal que B′∩A=∅.

Ejemplos

  • [1,→) no satisface la propiedad B−W en (ℝ,d2). En efecto, ℕ+ es un subconjunto infinito de [1,→), cuyo derivado es ∅.
  • Ni siquiera, suponiendo que el conjunto esté acotado. Por ejemplo, A={1+1/n: n∊ℕ+} no satisface la propiedad B−W en (ℝ,d2), ya que 1 es punto de acumulación de cualquier subconjunto infinito suyo, pero 1∉A.
  • B=A∪{1}, donde A es el del ejemplo anterior, sí satisface la propiedad B−W en (ℝ,d2). Pensemos que 1∊B.

Teorema (caracterización de la compacidad).- En un espacio métrico cualquiera, las afirmaciones «ser compacto» y «tener la propiedad B−W» son equivalentes.
Dem.: En efecto, ...

Producto de compactos

Teorema (producto de compactos).- Sea A1 (≠∅) un compacto de un espacio métrico M1≡(E1,δ) y sea A2 (≠∅) un compacto de otro espacio métrico M2≡(E2,μ). En estas condiciones, A1×A2 es un compacto del espacio métrico producto M1×M2.
Dem.: En efecto, ...

Ejemplos

  • [−1,1] es compacto de (ℝ,d2).
  • [−1,1]×[−1,1] (cuadrado de centro (0,0) y lado 2) es compacto de (ℝ2,d2).
  • [−1,1]×[−1,1]×[−1,1] (cubo de centro (0,0,0) y lado 2) es compacto de (ℝ3,d2)...
  • [−1,1] n (hipercubo de centro (0,...,0) y lado 2) es compacto de (ℝn,d2).

Teorema (espacios euclideos de dimensión n).- En (ℝn,d2) las afirmaciones «ser compacto» y «ser cerrado y acotado» son equivalentes.
Dem.: En efecto, ...

Espacios y conjuntos conexos

Se dice que (E,d) es un espacio métrico conexo si y sólo si los únicos subconjuntos que son a la vez abiertos y cerrados son ∅ y E. Sea A⊆E, se dice que A es un subconjunto conexo de (E,d) si y sólo si el subespacio métrico (A,d) es conexo.

Ejemplos

  • Un espacio discreto, con más de un punto, no es conexo. Esto es así porque todo conjunto es a la vez abierto y cerrado.
  • Sea M = {x∊ℝ: x < −1 ∨ x ≥ 1} = (←,−1) ∪ [1, →) ⊂ ℝ; M no es un subconjunto conexo de (ℝ,d2). En efecto, consideremos el subespacio métrico (M,d2) de (ℝ,d2). Sea H = {x∊ℝ: x < −1} = (←,−1). H es abierto en M. Sea G = M\H = {x∊M: x ≥ 1} = [1, →), que también es abierto en M, pues la bola abierta de centro 1 y radio r∊ℝ+ (r≤1), en el espacio (M,d2), es BM(1,r) = [1, r). Por tanto, H es abierto y cerrado en (M,d2), de donde (M,d2) no es conexo.

Teorema (caracterización de espacio métrico conexo).- Un espacio métrico (E,d) es conexo si y sólo si no existen dos conjuntos abiertos (cerrados) no vacíos A y B tales que A∪B=E y A∩B=∅.
Dem.: En efecto, demostrémoslo razonando por reducción al absurdo:
[⇒]: Si suponemos que existen dos abiertos no vacíos A y B tales que A∪B=E y A∩B≠∅, entonces B=E\A, de donde A es un abierto y cerrado distinto de E y de ∅.
[⇐]: Si (E,d) no es conexo, sea A (≠E, ≠∅) abierto y cerrado a la vez, entonces B=E\A es abierto, por lo que A y B son dos abiertos disjuntos tales que A∪B=E y A∩B=∅. ❏

Ejemplos

  • El espacio discreto no es conexo, pues al ser todo conjunto abierto y cerrado a la vez, el espacio es igual a la unión disjunta de dos abiertos (o de dos cerrados), a saber, cualquier conjunto y su complementario.
  • Como vimos anteriormente, (←,−1) y [1, →) son ambos abiertos en (M,d2), y además M es unión disjunta de ellos, por lo que (M,d2) no es conexo.
  • (ℝ,d2) es conexo, pues (∀ A,B abiertos (cerrados) no vacíos de ℝ) (A∪B=E ⇒ A∩B≠∅).

Teorema (carácterización de subconjunto conexo).- Sea (E,d) un espacio métrico y A ⊆E. A es conexo si y sólo si no existen O1, O2 ⊆E, abiertos y disjuntos, tales que, llamando B1 = O1∩A, y B2 = O2∩A, se verifique: B1 ≠ ∅, B2 ≠ ∅ y B1∪B2 = A.
Dem.: En efecto:
[⇒]: razonemos por reducción al absurdo; si existen O1 y O2 abiertos de E, que satisfacen las condiciones del consecuente, entonces B1 y B2 son abiertos y cerrados de A (con la métrica inducida en A, pues B1 = A\B2 −complementarios). Se trata pues, de conjuntos abiertos y cerrados, a la vez, siendo no vacíos y distintos de E; por tanto, de la definición de conexo, A no es conexo.
[⇐]: razonemos también por reducción al absurdo; si A no es conexo, entonces puede descomponerse en unión disjunta de dos abiertos de (A,d), B1 y B2. Construyamos, a partir de B1 y B2, dos abiertos disjuntos O1 y O2 en las condiciones del consecuente: O1=⋃x∊B1B(x,rx) y O2=⋃y∊ B2B(y,ry). Quizás lo menos trivial sea ver que son disjuntos: en efecto, razonemos por reducción al absurdo, si z∊O1∩O2, entonces (∃x∊B1)(∃y∊ B2)(z∊B(x,rx)∩B(y,ry)), de donde, por la desigualdad triangular, d(x,y)≤máx{2rx,2ry}, y por tanto, x∊B(y,2ry) ∨ y∊B(x,2rx); de aquí, x∊ B2 ∨ y∊ B1, y por ello, x∊B1∩B2 ∨ y∊B1∩B2, en contra de que B1 y B2 son disjuntos. Por tanto, O1∩O2=∅. ❏

Ejemplo

  • [0,1)∪{3} no es conexo en (ℝ,d2), pues basta aplicar lo anterior a O1=(−1,2) y O2=(2,5).

Teorema.- Sea (E,d) un espacio métrico y A ⊆E. Entonces:

  1. Si A es conexo y A⊆B ⊆Ā, entonces B es conexo.
  2. Si A es conexo, entonces, Ā es conexo.


Dem.: En efecto:

  1. Razonemos por reducción al absurdo, si B no es conexo existe una partición abierta de B.
  2. Caso particular del anterior: B=Ā.

Ejemplos

  • A=(0,1) es conexo en (ℝ,d2), (0,1) ⊆ [0,1) = B ⊆ [0,1] = Ā ⇒ [0,1) es conexo en (ℝ,d2).
  • Si Ā es conexo, entonces, puede que A no sea conexo. En efecto, un ejemplo: A=(0,1)∪(1,2) no es conexo y Ā = [0,2] sí lo es.

Teorema (caracterización de la conexión en (ℝ,d2)).- A⊆ℝ es conexo ⇔ A es un intervalo (esto es, si y sólo si (∀ x,y∊A) (∀ z∊ℝ) (x < z < y ⇒ z ∊ A))
Dem.: En efecto, razonemos por reducción al absurdo: [⇒]: A no es un intervalo ⇔ (∃ x,y∊A) (∃ z∊ℝ) (x < z < y ∧ z ∉ A); definiendo O1 = {x∊ℝ: x < z} y O2 = {x∊ℝ: x > z } se verifica la primera caracterización de ser A no conexo. [⇐]: A no conexo ⇔ ∃O1, O2 abiertos de ℝ, con las propiedades de la caracterización; sean x∊A∩O1, y∊A∩O2 y supongamos x<y. Consideremos z = sup [x,y]∩O1. Al ser O1 y O2 abiertos disjuntos, x < z < y. Pero z∉O1, pues si perteneciese, como O1 es abierto, existiría una bola centrada en z contenida en O1, de donde z no sería el supremo. Un razonamiento análogo lleva a que z∉O2. Como A⊆O1∪O2, deducimos que z∉A, de donde A no es un intervalo. ❏

En particular, ℝ, al ser un intervalo, es conexo. También se consideran intervalos el conjunto ∅ = (a,a), y cualquier conjunto unitario {a} = [a,a]. Ningún conjunto finito de números reales de cardinal mayor que 1 es conexo; tampoco lo son conjuntos infinitos «discretos» como ℕ, ℤo ℚ.

Se denomina dominio a todo subconjunto del espacio métrico que es abierto y conexo. Un continuo es cualquier subconjunto no vacío del espacio métrico que es compacto y conexo. Un dominio acotado se dice que es de orden de conexión n si su frontera está compuesta por n continuos disjuntos. Un espacio métrico (E,d) es localmente conexo si y sólo si para todo punto x de E, existe un sistema fundamental de entornos conexos de x.

Ejemplos

  • (0,1) es un dominio acotado en (ℝ,d2) de orden de conexión 2, ya que δ(0,1)={0}∪{1}.
  • [0,1] es un continuo en (ℝ,d2) que es un espacio métrico localmente conexo.
  • [0,1]∪{2} es un compacto no continuo.
  • Cualquier espacio discreto es localmente conexo.

No hay relación entre la conexión local y la conexión. Observemos que si el espacio discreto tiene más de un punto, es localmente conexo pero no es conexo. Un ejemplo de espacio conexo, no localmente conexo, lo constituye E = {(0,0)}∪{(x,sen(1/x)): x∊ℝ\{0} }, con la distancia d2; el (0,0) es un punto de dicho espacio para el que no existe un sistema fundamental de entornos conexos.

Véase también

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