Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 1: de enero a marzo de 2014
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Espacio vectorial euclideo

De Epistemowikia


En construcción.


Considerado un sistema de referencia ortonormal.


Tabla de contenidos

Ángulo entre dos vectores

Como cos(\vec u,\vec v)=\frac{\left \langle \vec u,\vec v \right \rangle}{\left | \vec u \right \vert \left | \vec v \right \vert} \, y ........................, entonces:
cos(\vec u,\vec v)=\frac{u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}{\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}} \,

Forma bilineal

Producto escalar

Propiedades

Longitud o módulo de un vector

Un vector de módulo uno se dice que es un vector unitario.

Cualquier \vec v \in V^n \, puede normalizarse para conseguir un vector unitario; basta hacer \frac{1}{\left | \vec v \right \vert} \vec v (vector \vec v \, normalizado).

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

\left \langle \vec u,\vec v \right \rangle ^2 \le \left \langle \vec u,\vec u \right \rangle \left \langle \vec v,\vec v \right \rangle

La igualdad se da precisamente si \vec u y \vec v son linealmente dependientes, i.e. si son proporcionales.


Ortogonalidad

Sistema ortogonal de vectores

\vec u y \vec v se dice que son vectores ortogonales precisamente si \left \langle \vec u,\vec v \right \rangle = 0, es decir, precisamente si \measuredangle \vec u \vec v = \frac{\pi}{2}. Se nota \vec u \perp \vec v.

\left \{ \overrightarrow{a_1}, ..., \overrightarrow{a_k} \right \} \subseteq V^n es un sistema ortogonal de vectores precisamente si son ortogonales entre sí.

Todo sistema ortogonal de V^n \, contiene n \, vectores como máximo, por ser linealmente independientes los vectores del sistema. Si un sistema ortogonal de V^n \, contiene n \, vectores entonces se trata de una base de V^n \,.

Sistema ortonormal de vectores

\left \{ \overrightarrow{a_1}, ..., \overrightarrow{a_k} \right \} \subseteq V^n es un sistema ortonornal de vectores precisamente si es un sistema ortogonal de vectores donde todos ellos son vectores unitarios.

A todo vector unitario o a todo sistema ortonormal de k \, vectores de V^n \,, con k < n \,, se le puede añadir vectores y formar así un nuevo sistema ortonormal de k' \, vectores con k' \le n \,. El método de ortonormalización de Gramm-Schdmidt proporciona un procedimiento efectivo para lograrlo.


Ejercicios

Enunciados y soluciones

1.-

Sea \left ( V,+,\cdot,\R \right ) \, un espacio vectorial y f:V \times V \rightarrow \R \, una forma bilineal simétrica. Demuéstrese que:
f(x+y,x-y) = f(x,x) - f(y,y), f(x-y,x+y) = f(x,x) - f(y,y), f(x+y,x+y) = f(x,x) - 2f(x,y) + f(y,y), f(x-y,x-y) = f(x,x) + 2f(x,y) + f(y,y) \,

Sol.:

...

2.-

Para construir una pared de 9 metros de larga y 2 metros de alta se han empleado 200 ladrillos. Si se quiere ampliar hasta los 10 metros de larga y 2 metros y medio de alta, ¿cuántos ladrillos más harían falta?

Sol.:

...

3.-

El agua de una cubeta se vacía en 150 veces usando un cubo de 20 litros. ¿En cuántas veces se sacaría utilizando un cubo de 25 litros?

Sol.:

...

4.-

a) Demuéstrese que \left / \vec u,\vec v \right \backslash = 2u_1v_1 + \frac{1}{2} \left ( u_2v_2 + u_3v_3 - u_2v_1 - u_1v_2 - u_1v_3 - u_3v_1 \right ) es un producto escalar en \R^3.
b) Para dicho producto escalar, ¿es \left \{(0,1,1),(0,-1,1),(1,1,1) \right \} \, un sistema ortogonal?

Sol.:

...

Bibliografía

  • Anzola, Máximo y Caruncho, José (1981) Problemas de Álgebra. Tomo 6. Geometría Afín y Euclidea. Edición propia, Madrid. (Capítulo 8).
  • Nortes Checa, Andrés (1982) 300 Problemas de Álgebra Lineal y Geometría. Edición propia, Madrid. (Capítulo 4).
  • Ríos, Sixto (1974) Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría. ICE, Madrid. (Capítulo 7).
  • Sánchez, Rafael (1992) Ejercicios de Álgebra Lineal, Edición propia, Granada. (Capítulo 8).


Enlaces externos

  • ...


INDEX

  • EUNIMAT (Enciclopedia Universal Ilustrada de la MATemática)


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© Juan Miguel León Rojas, 2010.


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