Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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Espacios Vectoriales

De Epistemowikia

Tabla de contenidos

CARACTERIZACIÓN

Definición de Espacio Vectorial

Dados (E,+) Grupo Abeliano ∧ (K,+,•) Cuerpo ∧ K x E ⇒ E una ley de composición interna, se dice que: (E,+,•) es un espacio vectorial sobre K (K-espacio vectorial ó Kev) si β, α ∊K ∧ u, v ∊ E y se cumple: (1) α (β • u) = (α • β) u (2) (α + β u = α u + β u (3) α (u + v) = α u + α v (4) 1 • u = u Imagen:Ejemplo.jpg Ejemplo: (R2 ,+) es espacio vectorial sobre R.

Propiedades del Espacio Vectorial

Sean α, β ∊ K y u, v ∊ E (1) α • 0 = 0 (2) 0 • u = 0 (3) α • u = 0 ⇒ α = 0 ∧ u = 0 (4) -(α u) = (-α) u = α (-u) (5) α u = α v ∧ α ≠ 0 ⇒ u = v (6) α u = β u ∧ v  0 ⇒ α = β

Subespacio Vectorial

Dados (E,+,•) K-Espacio Vectorial ∧ H ⊆ E , H ≠ ∅, se dice que (H,+,•) es un Subespacio Vectorial de E si es un K-ev (espacio Vectorial sobre K). Es decir: H ⊆ E ∧ H es K-ev ⇔ H es subespacio vectorial de E

Caracterización del SUBESPACIO VECTORIAL:

Dado (E,+,•) un K-ev y H ⊆ E , H ≠ ∅. H es subespacio vectorial de E ⇔ ∀α, β ∊ K ∀u,v ∊ H ⇒ α u + β v ∊ H

Propiedades de los SubespaciosVectoriales

(1) La intersección de subespacios vectoriales de E , si es subespacio vectorial de E

(E,+,•) es K-ev ∧ { Hi} i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒ ∩ H i es S.E.V de E </b>


->Demostración:

H1 = {(x, y, z) / x + y + z = 0 } ∧ H2 = { ( x, y, z ) / x - y + z = 0 } son S.E.V de R3

H1 ∩ H2 = { (x, y, z) / x + y + z = 0} = { (x, y, z) / x + z = 0 ∧ y = 0} = {(x, y, z) / x = - z ∧ y = 0}


->Caso particular:

(1, 0, -1) + (-2, 0, 2) = (-1, 0 , 1) ∊ H 1 ∩ H2 es lci α (1, 0, -1) + β (-2, 0, 2) ∊ H 1 ∩ H2 ∀α, β ∊ K ⇒ La interseccion es S.E.V


(2) La unión de subespacios vectoriales de E , no es subespacio vectorial de E

(E,+,•) es K-ev ∧ { Hi } i ∊ I una familia de S.E.V de E ⇒ ∪ Hi no es S.E.V de E. </b>

Demostración:

H1 = { (0,y) / y ∊ R } ∧ H2 = { ( x,0) / x∊R } son S.E.V de R2.

Si (0,1) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2. Si H 1 ∪ H2 fuera S.E.V la suma seria lci y no lo és. Si (1,0) ∊ H1 también ∊ H1 ∪ H2 (0,1) + (1,0) = (1,1) ∉ H1 ∪ H2.


(3) La suma de subespacios vectoriales (el conjunto suma) es subespacio vectorial de E

(E,+,•) es K-ev ∧ H,G dos S.E.V de E ⇒ H + G es S.E.V de E

->Demostración:

H + G = { v ∊ E / v = h + g tal que h ∊ H ∧ g ∊ G}. Queremos demostrar que H + G ∊ E

Sean:

h + g ∊ H+G;

h´+ g´ ∊ H+G;

α, β ∊ K

α (h + g) + β (h´+ g´) = (α h + β h´) + (α g + β g´) ∊ H+G por el teorema H+G es S.E.V de E

COMBINACIONES LINEALES

Dado (E,+,•) un K-ev ∧ {v1,v2,...,vn} un sistema de vectores de E.

El vector ω ∊ E es combinación lineal de v1,...,vn si ∃ escalares α1,..., αn tales que ω = α1v1 + α2v2 +...+ αnvn

A los escalares α1, α2, ..., αn se les llama coordenadas de ω respecto de v1, v2,...,vn

Envoltura o Clausura Lineal

Dado S = {v1, v2,..., vn} ∊ E (K-ev) llamamos envoltura lineal de S al conjunto de todas las combinaciones lineales .

< S > = { ∑ αi vi / αi ∊ K } ∀i ∊ { 1, 2..., n}

NOTA:el sumatorio (∑) va desde i=1 hasta i=n.

Propiedades

(1) ∅ ∊ < S >

(2) S ⊆ < S >

(3) < S > es sub-ev de E, y es el menor sub-ev de E que contiene a S

(4) Si S ⊆ T ⇒ < S > ⊆ < T > ∨ Si S ⊆ < T > ⇒ < S > ⊆ < T >


Sistemas Equivalentes

Dos sistema de vectores de E (S1 y S2) son equivalentes cuando lo son sus envolturas lineales.

S1 = S2 ⇔ < S1 > = < S2 >

Dependencia e Independencia Lineal

Un sistema de n vectores S es linealmente independiente (l.i.) ó libre si no se puede expresar como combinación lineal de otros.

Es decir: ω = α1v1 + α2v2 +...+ αnvn = 0

αi = 0 ∀i ∊ {1...n}

Un sistema de n vectores S es linealmente dependiente (l.d.) ó ligado si se puede expresar como combinación lineal de otros. Es decir: ω = α1v1 + α2v2 +...+ αnvn = 0

(No todos αi = 0)

Propiedades

(1) El conjunto {0} y cualquier sistema de vectores que lo contenga será ligado.

(2) Si x ≠ 0, x ∊ E ⇒ {x} es libre.

(3) Si S es libre/ligado, entonces cualquier subconjunto de S es libre/ligado.

(4) Un sistema es ligado ⇔ existe algún vector que sea c.l. del resto.

Operaciones elementales con las cuales la dependencia ó independencia lineal no varia:

(1) Intercambiar vectores.

(2) Multiplicar un vector por un escalar no nulo.

(3) Sumar a un vector otro multiplicado por un escalar.

REDUCCIÓN POR GAUSS

Consiste en a partir de un sistema de vectores iniciales conseguir sistemas equivalentes hasta llegar a un sistema final, si este contiene el vector cero el sistema es ligado.

De una manera gráfica se busca, mediante transformaciones permitidas, obtener una cascada descendiente de ceros que parte de debajo de a11 con (al menos) un cero, después (al menos) dos ceros y así sucesivamente. Esos vectores son libres si aii ≠ 0. Por lo que si uno de los vectores es cero el sistema será ligado.

Ejemplo:

a1 = ( 2, 1, 0, 0, 0 )

a2 = ( 2, 5, 3, 0, 0 )

a3 = ( 3, 1, 4, 2, 0 )

a4 = ( 2, 3, 5, 6, 2 )

Es un sistema libre de vectores libres

b1 = ( 1, 1, 1, 1 ) ( 1, 1, 1, 1 )

b1 = ( 1, 2, 0, 1 ) ⇒ ( 0, 2, -2, 0 )

b1 = ( 1, 0, 2, 1 ) ( 1, 0, 2, 1 )

Sistema ligado (no hay cascada posible)

Propiedades

(1) < u , v > = < α u, β u + v > α ≠ 0.

(2) {u , v} libre ⇔ {α u, β u + v} es libre.

(3) En Rn los vectores: { (a11, a12,..., a1n ) , (0, a22,..., a2n ),..., (0, ..., 0 ,..., arn ) } son libres si aii ≠ 0


SISTEMA GENERADOR

Dado (E,+,•) un K-ev ∧ S un sistema de vectores de E. Decimos que S es sistema generador de E, si E se puede expresar como combinación lineal de S.

Es decir, si todo vector de E se puede expresar como c.l de los vectores de S.

Y se cumple que:S es sistema generador de E ⇔ E = < S >


Base de un Sistema de Vectores

Dado S un sistema de vectores de E, decimos que S es una base de E si:

S es libre ∧ S es sistema generador de E.

Es decir, que a partir de S se pueden obtener todos los vectores de E.

Base canónica:

Cualquier vector x = (x1 ,..., xn) de Rn se puede escribir de la forma:

(x1, x2..., xn) = x1 (1, 0, ..., 0) + x2 (0, 1, ..., 0) + xn (0, ... ,0, 1)

Siendo u1 = (1, 0,..., 0) , u2 = (0, 1,..., 0) , ..., un = (0, 0,..., 1) una base de Rn llamada base canónica.


Dimensión de un sistema de vectores:

En un ev todas las bases tienen el mismo numero de vectores, y le llamamos dimensión de E (dim E).

Ejemplo:

dim R3 = 3

Teorema de la Base Incompleta:

Si {v1, v2,..., vn} es un sistema libre de r vectores en el espacio vectorial de V de dim V = n con r < n, entonces ∃{wr+1, ..., wn} tales que {v1, ..., vr , wr+1, ..., wn} es base de V.

Consecuencia:

dim E = n ∧ V libre ⇒ V es base de E

Licencia









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