Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
Epistemowikia es parte de
Logotipo de CALA Virtual
CALAALA | Communitas | Evolvere
Editio | Epistemowikia | Exercitatio | Fictor | Flor
Epistemowikia no se hace responsable ni se identifica necesariamente con el contenido ni las opiniones expresadas por sus colaboradores.
La Universidad de Extremadura no se hace en ningún caso responsable de los contenidos publicados en Epistemowikia.
Ni la Asociación Conocimiento Comunal (CONOMUN) ni el Grupo de Investigación de Ingeniería Telemática Aplicada y Comunicaciones Avanzadas (GÍTACA) se hacen en ningún caso responsable de los contenidos publicados por terceros.

[editar] Inicio | La revista | Índex | Hemeroteca | Búsquedas | Quiénes somos | Contacto | Publica

Estructuras algebraicas

De Epistemowikia

(Redirigido desde Estructuras Algebraicas)

Tabla de contenidos

LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA (LCI)

Se dice que una Ley de Composición Interna en un conjunto A ≠ 0 es una aplicación • : A x A ⇒ A

Es decir, que si operamos (•) dos elementos de A (A x A) el resultado también pertenece a A.

Si a,b ∊ A ⇒ por lci ⇒ a • b ∊ A

Propiedades que puede cumplir una LCI

Asociativa

∀ a,b,c ∊ A a•(b•c) = (a•b)•c
Ejemplo: (ℕ, +), (ℝ,+)...

Conmutativa

∀ a,b ∊ A a•b = b•a
 Ejemplo:  (ℕ, • ), (ℝ,+)...

Elemento neutro

∃ e tal que ∀ a ∊A a•e = e•a = a
Ejemplo: ( ?,+) e = 0 , ( ?,•) e = 1..

NOTA: ? significa que puede ser cualquier conjunto.

Elemento simétrico

Si (A,•) tiene neutro (e) a • a´ = a´• a = e , a´∊ A
Ejemplo: ( ?,+) a´ = opuesto , ( ?,•) a´= inverso

NOTA: ? significa que puede ser cualquier conjunto.

Distributiva

Si (λ ,•) son operaciones definidas en A, • es distributiva respecto λ si a • (bλc) = (a • b) λ (a • c)


LEY DE COMPOSICION EXTERNA (LCE)

Se dice que una Ley de Composición Externa en un conjunto A ≠ 0 con dominio de operadores K es una aplicación definida del tipo *: K x A ⇒ A

Es decir, que si elementos de un conjunto K con otros de A nos dan como resultado elementos de A.

Ejemplo: K= ℝ , A = ℝ2 ⇒ por lce ⇒ ℝ * ℝ2 ⇒ ℝ2 ∊ A α ∊ ℝ (x,y) ∊ ℝ α • (x,y) ⇒ (α x, α y) ∊ ℝ2


ESTRUCTURA DE GRUPO

Definición de Grupo

Dados un conjunto G ≠ ∅ y una lci en G, decimos que G es un grupo si cumple las propiedades: ASOCIATIVA

ELEMENTO NEUTRO

ELEMENTO SIMÉTRICO

Si además la operación es conmutativa el Grupo es Abeliano.


Definición de Subgrupo

Dado (G,•) un grupo y H ⊆ G . H es subgrupo de G (H ≤G) si con la op. inducida de G es grupo.

Es decir: H ⊆ G ∧ H es grupo ⇔ H es subgrupo de G


ESTRUCTURA DE ANILLO

Definición de Anillo

Dado (A,+,•) es un anillo si cumple que:

(A,+) es GRUPO ABELIANO

(A,•) es ASOCIATIVA

(A,•) es DISTRIBUTIVA respecto a (A,+)

Si además cumple que (A,•) es conmutativa seria Anillo Abeliano

Ejemplo: (ℤ, +,• )

Si se cumpliera el elemento neutro para (A,•) seria Anillo Unitario

Ejemplo: (ℤ, +,• )

Propiedades

Si (A,+,•) es anillo ∧ e el neutro de la suma se cumple que:

a • e = e

Ejemplo: (ℤ,+,•) 5 • 0 = 0

Definición de Subanillo

Dado (A,+,•) un anillo y H ⊆ G . H es subanillo de A si con las operaciones inducidas de A es anillo.

Es decir: H ⊆ A ∧ H es anillo ⇔ H es subanillo de A

Ejemplo: ( 2ℤ,+,•) es subanillo de (ℤ,+,•)


ESTRUCTURA DE CUERPO

Definición de Cuerpo

Dado (K,+,•) es cuerpo si cumple que: (K,+,•) es Anillo Unitario y Conmutativo.

Todo elemento no nulo es INVERSIBLE. ∀a ≠ 0 ∊ K, ∃ a-1 ∊ K; a a-1 = 1

Ejemplo: (ℚ,+,•)

Herramientas personales