Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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Lógica de predicados

De Epistemowikia

Tabla de contenidos

Introducción

La evolución de los últimos años en la informática en aplicar la lógica en la programación ha derivado en la programación declarativa. La programación declarativa se fundamenta en la teoría en la lógica de predicados. Esta lógica se centra en conseguir sistemas que demuestren automáticamente teoremas.

Lenguaje Formal de la Lógica de Predicados

El lenguaje es el instrumento que se usa para la comunicación entre humanos. El lenguaje está formado por frases, entre ellas podemos distinguir: frases imperativas, frases interrogativas y frases declarativas.

La definición de lógica, disciplina que estudia métodos de formalización del conocimiento humano "de los métodos de formalización de frases declarativas".(Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)

La lógica se clasifica:

•Lógica proposicional o lógica de enunciados:

Se parte de un elemento simple, las frases declarativas simples, las cuales tienen significado ellas mismas o la unión entre ellas,forman una frase. Esto inicia una unidad de comunicación de conocimientos, las cuales se les denomina proposiciones, y toman el valor verdadero o falso.


•Lógica de predicados: Estudia las frases declarativas,teniendo en cuenta la estructura interna de las proposiciones. Los objetos y las relaciones entre los objetos serán los elementos básicos. Podemos distinguir:

- "Qué se afirma: relación

- De quién se afirma: objeto" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)

Lógica de Predicados (LP de Orden Cero).

Con la lógica de predicados intentamos conseguir sistemas de demostración automática de teoremas. Partimos de elementos básicos como las frases declarativas simples o proposiciones que son aquellos elementos de una frase que constituyen por sí solos una unidad de comunicación de conocimientos y pueden ser considerados Verdaderos y Falsos. La lógica de predicados estudia las frases declarativas con mayor grado de detalle, considerando la estructura interna de las proposiciones. Se tomarán como elemento básico los objetos y las relaciones entre dichos objetos. Se distingue:

• "Qué se afirma (predicado o relación)

• De quién se afirma (objeto)" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)


Definimos a continuación las reglas sintácticas para construir fórmulas:


Definición 1:El alfabeto de la lógica de predicados estará formado por los siguientes conjuntos simbólicos:


•Conjunto de Símbolos de Variables(VAR): Es un conjunto de las últimas letras del alfabeto en minúsculas. Se utilizan subíndices, por ejemplo: x,y,z,x_1,y_1,z_1 \in VAR

•Conjunto de símbolos de Constantes (CONS): Este conjunto lo forman las primeras letras del alfabeto en minúsculas,también utilizaremos subíndices: a,b,c,a_1,b_1,c_1 \in CONS

•Conjunto de letras de función(FUNC): Representaremos a este conjunto por las letras f,g,h,L. Incluimos subíndices para poder diferenciar las funciones: f,g,h,L,f_1,g_1,h_1 \in FUNC

•Conjunto de letras de Predicado (PRED): Se representan mediante letras mayúsculas,  P,Q,R,K \in PRED


Símbolos de conectivas: ¬ = Negación

∨= Conectiva "o"

∧ = Conectiva "y"

→ = implicación

↔ = Doble implicación o equivalencia


Cuantificadores:

∃=existencial

∀=Universal


Signos de puntuación: Paréntesis ( ) y coma.


Definición 2: Término es una cadena de símbolos que representan a objetos y dependen de las siguientes reglas:

•"Toda variable o constante individual es un término." (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)


•"Si t1,t2,L,tn son términos y fn es una función de aridad n entonces fn(t1,t2,L,tn) es un término" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)


•Todos los términos posibles se generan aplicando únicamente las dos reglas anteriores Cualquier término lo generamos a partir de las dos reglas dichas anteriormente.


Definición 3: Un átomo es una cadena de símbolos de la forma: P^n(t_1,t_2,\cdots,t_n) donde Pn es un predicado de aridad n y t_1,t_2,\cdots,t_n sin términos


Definición 4: Definimos el conjunto de fórmulas bien formadas (fbf):

1. "Todo átomo (P,Q,R,S,...) es una fórmula bien formada. (Se denominará fórmula atómica)."

2. "Si es una fórmula bien formada, ¬ A también lo es.

3. Si y son fórmulas bien formadas, también lo son (A ∧ B), (A ∨ B) y (A ⇒ B).

4. No hay más fórmulas." (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)


Podemos hacer razonamientos con la deducción natural.

Ejemplo: Tenemos la frase “Todos los estudiantes de informática son listos” (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.), lo podemos formalizar de la siguiente manera usando predicados:

I(x)=”x estudia informática” y L(x)=”x es listo” como: \forall x(I(x) \rightarrow L(x))

"Existen estructuras deductivas que la lógica de proposiciones no puede formalizar de forma adecuada, por ejemplo, la deducción:

"Todos los informáticos son listos, Pedro es informático, luego Pedro es listo" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.)


En lógica de predicados de orden cero lo formalizamos con tres proposiciones p,q y r independientes y la fórmula resultante “p∧q→r” no sería válida.

Lógica de primer orden

En lógica de predicados de primer orden "se permite la cuantificación de variables" (Jose Emilio Labra Gayo, Daniel Fernández Lanvin, E.U.I.T.I.O.). Así de esta manera, se formaliza el razonamiento:

En la lógica de predicados de primer orden

(∀x (Informático(x)→Listo(x))∧ Informático (Pedro))→ Listo (Pedro)

La lógica de predicados de primer orden es la más básica, es una extensión de lógica de predicados de orden cero, sólo que admite los cuantificadores ( ∀ y ∃ ), y reglas de deducción natural.

Las variables en lógica de primer orden pertenecen a un dominio, tienen una asignación. Pueden existir constantes y las fórmulas en esta lógica se pueden unificar de formas nuevas que antes no teníamos o podíamos.

La LP1 es suficiente para formalizar la teoría de conjuntos, el problema es que, a diferencia de LP0, la lógica de primer orden no es predecible. No existe un procedimiento de decisión que nos permita decidir si para una fórmula,esta es válida o no.Church y Turing lo demostradon de forma independiente.

Ejemplo sobre lógica de predicados

Dada la siguiente expresión \forall xP(X,f(x,y))

-La variable x está ligada ya que aparece en el ámbito del cuantificador universal y además la tiene como variable de cuantificación.

-Se dice que la variable y es una variable libre ya que aunque está en el ámbito del cuantificador universal,esta no la tiene como variable de cuantificación.

Sistema deductivo para lógica de primer orden

En lógica de preidcados de orden cero,existen una seies de expresiones que son siempre verdaderas. A partir de estas expresiones podremos llegar a construir un sistema deductivo con el que podremos llegar a expresiones correctas. Ejemplo:La siguiente expresión es válida:

          |=p(X)->(Q(X)->P(x))

Esta expresión es una instancia de una tautología de logica de predicados.En general,con cualquier instanacia de tautología podremos obtener una fórmula de universalmente. A partir del esquema de axiomas de HILBERT obtenemos:

 (p(X)->(Q(Y)->R(z)))->(P(x)->Q(y))->(P(X)->R(z)))

De todas maneras para hacer un razonamineto de primer orden estos esquemas de axiomas no son suficientes.

Fuentes y Bibliografía

Licencia









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