Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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Lógica matemática

De Epistemowikia

Tabla de contenidos

El concepto

<<Lógica matemática o también llamado Lógica simbólica es una parte de las matemáticas que se encarga de los sistemas formales, también de los conceptos tales como demostración matemática y computación;>>

Historia

<< Giuseppe Peano dio el nombre de Lógica Matemática a este apartado de las matemáticas. Está basado en la lógica filosófica de Aristóteles, pero con una visión más moderna aplicado a la nueva notación matemática >>

Lógica de proposiciones

Definición de Proposición: Es cualquier agrupación de palabras o símbolos que tengan sentido y de la que en un momento determinado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. V ó 1 Verdadero F ó 0 Falso

A las proposiciones las representamos con letras minúsculas

Tipos de proposiciones Conectivas. -Singulares (⌐, No) y Binarias:

-Conjunción (Λ, y)

-Disyunción inclusiva (V,o)

-Disyunción exclusiva (Å, o... o... pero no ambas)

-Condicional (->,, si ... entonces ...);

-Equivalencia lógica <-> Dadas las proposiciones p,q, se define una equivalnecia p <-> q como una nueva proposición que se lee "p si sólo si q" que es verdadera cuando la p y la q tienen a la vez los mismos valores de verdad. En el caso que p <-> q sea verdadera se dice p y q son equivalentes y también que p es condición necesaria y suficiente de q y viceversa.

Tablas de verdad:

Representa las múltiples salidas de una función lógica para todas las combinaciones posibles de los valores de entrada.



p q ⌐p p Λ q p V q p Å q p -> q p <->q

V V F V V F V V

V F F F V V F F

F V V F V V V F

F F V F F F V V


Métodos de decisión en lógica de proposición. Una tautología es una proposición que siempre es verdadera. Una contradicción es una proposición que siempre es falsa. Una contingencia es proposición que puede ser verdadera o falsa.


Validación de sentencias proposicionales. Sirven para decidir si una proposición es una tautología, una contradicción o una contingencia. Validación mediante tablas de verdad. (Bueno para pocas variables). Validación mediante refutación. (Suposición de que la sentencia es falsa)


Métodos de demostración:

Método Directo

Para demostrar que P -> Q supondremos que la hipótesis P es verdadera y a partir de este punto razonando como haga falta intentaremos llegar a que la tesis Q es verdadera, con lo que quedaría demostrado P –> Q. Un ejemplo clásico: Demostrar que en N todo múltiplo de 6 es también múltiplo de 3. Es decir: Si x el múltiplo de 6 x también es múltiplo de 3. Supongamos que x el múltiplo de 6 (hipótesis verdadera) luego x=6*m para todo m perteneciente a N, pero sabemos que 6=3*2 luego x=3*2*m; n=2*m n pertenece a N Finalmente tenemos que x=3n, x el múltiplo de 3 con lo que tenemos Q, por tanto P->Q.


Método reducción al absurdo

Sólo sabremos si es una tautología. Supondremos que es una contradicción, por tanto podemos suponer que puede ser falsa. Sin con esta suposición se llega a una contradicción quería decir que esa falsedad supuesta nunca podría darse, por tanto la proposición sería siempre verdadera es decir una tautología


Método Inductivo

Sirve para demostrar fórmulas o propiedades que son verdaderas para infinitos números naturales. Es decir para demostrar que las propiedades de la forma P(m) se cumple casi siempre para todo número natural m € N siendo n+ el conjunto de los característicos sin el cero V n € N+ (Siendo N* = N-{0}) Se trata de demostrar P(n), V n € N* El método de demostración inductivo consta de 3 pasos.

1. Paso Básico

Demostrar que la propiedad se cumple para el primer valor de de N que nos digan, casi siempre será 1. Se trata de demostrar P(1).


2. Paso Inductivo

Consiste en demostrar que si se cumple para un cierto n entonces también se cumple para n+1. Es decir que si se cumple para P(n) entonces se tiene que cumplir P(n+1). Se trata de demostrar la implicación P(n)->P(n+1). Supondremos como hipótesis P(n) (hipótesis de inducción).


3. Conclusión

Del paso básico y del paso inductivo se deduce que la proposición se cumple para todos los n naturales mayores o iguales a 1 (n>=1).

Referencias

Lógica Matemática en Wikipedia

Fuentes

Lógica Matemática en monografías.com

Apuntes de Algebra Ingeniería Informática.

Licencia









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