Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 3: de julio a agosto de 2014
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Lógica modal (Versión 1)

De Epistemowikia

Existen distintas versiones sobre el artículo. Para consultarlas véase Lógica modal.


Tabla de contenidos

Introducción Histórica

Los orígenes de la lógica se sitúan, con la aparición del hombre, puesto éste posee la capacidad de razonar y de deducir, y esto es precisamente de la ciencia que trata la Lógica.
A lo largo del tiempo, se han planteado dos cuestiones: si es el hombre ha elaborado la lógica o si el hombre la ha descubierto. Ante estas preguntas caben respuestas:
Si se toma que ha sido inventada, es posible argumentar que el hombre ha ido inventando maneras de explicar el mundo, así como intentar predecir el porqué suceden las cosas de una u otra forma.
El hombre para analizar la verdad de un conjunto de proposiciones, de situaciones reales o imaginarias, precisa de un sistema imparcial, que pueda llevar a cabo al menos, estas funciones válidas:
- Señala si en el conjunto no hay proposiciones que se contradigan entre ellas, con lo que se puede asegurar que este conjunto sea consistente.
- A partir de un conjunto de proposiciones, deducir otras proposiciones.
La lógica es pues, un sistema con capacidad de análisis de cualquier conjunto de proposiciones que determina si cumple con las anteriores funciones anteriores.
El hombre a largo de la historia, ha creado muchas lógicas. Podemos asegurar pues, que lógica evoluciona. Entre estas diferentes lógicas se tiene la Lógica Modal.
La lógica Modal tuvo un gran apogeo en la Edad Media. Contrapuesta a la Lógica Clásica, nace a principios de siglo XX, la Lógica Modal contemporánea. Surge primordialmente para solucionar problemas con la implicación material, en la que no se garantiza la causalidad.
Las constantes lógicas determinan los patrones que indican una consecuencia lógica entre distintos enunciados. Como ejemplos de patrones de razonamiento, en la Lógica Clásica se tienen “->�? (expresa: “Si…entonces�?) y “~�? (expresa “no�?). El símbolo “ �? especifica la relación de consecuencia lógica.
Con estos patrones es posible expresar argumentos, con los cuales se recoge información en lenguaje natural.
Se realizan diversas publicaciones, tales como Conditinal and the Algebral of Logica por C. I. Lewis (en 1912). Seis años más tarde, Lewis con la publicación de A Survey of Symbolic Logic propone un nuevo patrón para expresar el significado del condicional “Si...entonces�?, al que nombra como “implicación estricta�? y no “condicional�?, al que introduce el concepto de necesidad, expresado de la siguiente manera: “ �?.
Por contra, Peña considera que la Lógica Modal no es, sino una extensión de la Lógica Clásica, en el aspecto en que ésta no la contradice y además puede englobarla.
Se deriva del análisis de las conectivas “condicional o implicación estricto�? a las nociones modales. Hay una serie de agentes que llevan a la lógica modal a poseer una mala impresión. Destacamos algunos de ellos:
en la Lógica Clásica la consecuencia lógica elimina ciertas nociones modales, dando más peso a la formalidad.
Con la Lógica Modal es posible obtener sistemas axiomáticos.
El desarrollo de esta lógica no requiere un análisis semántico.
Todo ello, no quedó libre de críticas, como por ejemplo, las de Quine. Diversos estudios, como los de Saul Kripke con las obras Semantical Análisis of Modal Logic, I. Normal Propositional Calculi publicadas en 1963, o Semantical Analysis of Intuitionistic Logia, II: Non-Normal Modal Propositional Calculi, así como Semantical Analysis of Intuinistic Logic del año 1965. Destacamos la semántica de los mundos posibles, como una herramienta para el análisis semántico de la Lógica Modal, con lo que lleva a ser una herramienta muy útil para analizar expresiones, bien sean éstas, entre otras muchas, modales, temporales, doxásticas, epistémicos o morales.


Concepto de Lógica Modal

Es un importante campo de la lógica actual que se utiliza con el fin de poder estudiar las propiedades básicas de la demostrabilidad o deducibilidad en otros sistemas formales, principalmente en los sistemas matemáticos
La lógica modal lo que introduce son modos, términos que van a modificar al predicado, tratan un mundo cada vez y se dedica a estudiar las posibles relaciones entre los diferentes mundos, utilizando los conceptos de ‘posibilidad’ y ‘necesidad’.
La lógica modal es una lógica completa, consistente y decidible.
Es una lógica intensional, lo que quiere decir que a partir del valor de verdad de las proposiciones elementales no se puede determinar el valor de verdad de la proposición compleja que forman.
La lógica modal está basada mayoritariamente en tres principios:
1. Las verdades necesarias son verdades.
2. Las consecuencias necesarias de verdades necesarias son verdades necesarias.
3. Las verdades lógicas son verdades necesarias.
Dicha lógica enuncia que:
- Una proposición es posible si puede ser verdadera, independiente de que al final lo sea o no. Una proposición posible es verdadera en algún mundo posible.
(Posee probabilidad > 0 )
- Una proposición imposible es falsa en todos los mundos posibles.
( Posee probabilidad = 0 )
- Una proposición es necesaria si no es posible que sea falsa. Una proposición necesaria es cierta en todos los mundos posibles.
( Posee probabilidad = 1 )
- Una proposición es contingente si no es necesariamente verdadera, es decir puede ser verdadera o falsa. Una proposición contingente es una proposición no necesaria.
- Un mundo posible debe ser consistente y coherente.
- Dada una descripción de un mundo, una proposición es posible si es compatible con lo ya conocido.


Gramática Modal

Sintaxis

La sintaxis la componen los operadores modales junto con la sintaxis del cálculo de predicados.
El formato generalizado de las expresiones modales es el siguiente:
Operador modal + Aserción
Para investir proposiciones de gran complejidad se combinan los operadores modales con conectivas lógicas.
Los conceptos de posibilidad y necesidad se expresan con las constantes lógicas M y N. Por ejemplo:
Para designar que es posible que p se utiliza Mp.
Para designar que es necesario que p se utiliza Np.
Las relaciones de accesibilidad se expresan mediante Sistemas Axiomáticos Comunes:
- T: la relación de accesibilidad es reflexiva.
- S4: la relación de accesibilidad es reflexiva y transitiva.
- S5: la relación de accesibilidad es reflexiva, transitiva y simétrica, es decir es total.
Además existe una función de valoración (σ) que proporciona en un mundo determinado a cada fórmula uno de los siguientes valores de verdad: ┬, ┴.
A la estructura <M, R, σ > se le denomina ‘marco’.
En un marco A es modalmente satisfacible si como mínimo existe un mundo mi de ese marco donde A es satisfacible. En caso contrario se dice que es modalmente insatisfacible.
Si A es válida en todos los mundos de un marco modal, se puede afirmar que A es modalmente válida.


Operadores Modales

El operador correspondiente al concepto de necesidad es: �?�.
Algunas de las posibles formas de leerlo son las siguientes:
⋅A: Debe ser A.
Se cree que A.
Se sabe que A.
Siempre será verdad que A.
Necesariamente es verdad que A.
Después de cada ejecución, A es verdad.
El operador ajustado para el concepto de posibilidad es: ◊
Son mostradas algunas posibles formas de lectura de este operador.
◊A: Puede ser que A.
Lo opuesto a A no se cree.
Lo opuesto a A no es conocido.
Algunas veces será verdad que A.
Posiblemente es verdad que A.
Existe alguna ejecución en que A es verdad.


La precedencia de los operadores modales �?�⋅ y ◊ es igual que la del operador negación.


Semántica

Es necesario conocer los valores de la proposición tratada en cada mundo para así poder interpretar la fórmula modal proposicional.
Se demanda accesibilidad, se requiere para los predicados y funciones un mismo dominio y además se tratan las evaluaciones de tales predicados y funciones en cada mundo sobre dicho dominio.
La gramática nos muestra que secuencias de signos de vocabulario son aptas de poseer significado, éstas reciben el nombre de ‘fórmulas bien formadas (fbf)’.
Sigue las mismas reglas que la lógica clásica pero añadiendo algunas reglas más para los operadores modales, las reglas añadidas son las siguientes:
R1: Si α es una letra de una oración aislada, α es una fbf.
R2: Si α es una fbf, Ma es una fbf.
R3: Si α y β son fbf, entonces (α Δ β) es una fbf.
R4: Cualquier expresión construida de otro modo no es fbf.
Siendo las siguientes metavariables:
α y β para hablar de secuencias de signos.
M para operadores de negación y modales.
Δ para operadores diádicos.
Podremos definir las condiciones de verdad de los operadores mediante definiciones inductivas sobre el conjunto fbf, éstas tendrán un aspecto de la siguiente forma:
  • ◊(p → �?�q)
  • ~(◊p ~p)
  • �?�(p ~p)


Ejemplo

Sea la fórmula: �?�⋅P ◊Q.
El universo de discurso es: U = {m1 y m2}
Relaciones de accesibilidad: m2 es accesible desde m1.
m1 desde si mismo.
m2 solamente tiene acceso desde sí mismo.
Se sabe que: P y Q son verdaderas en m1.
P es verdadera sólo en m2.
Interpretación en m1:
  • Desde m1 los mundos accesibles son él mismo y m2, donde P es verdadera por tanto se cumple �?�P.
  • Q es verdadero en m1, y puesto que éste es accesible desde él mismo también se cumple ◊Q.
  • Por tanto se puede concluir que en la fórmula m1 es verdadera.


Tipos de Lógica Modal

Lógica Cuantificacional Modal

En el contexto cuantificacional el uso de los operadores modales puede dar problemas en la semántica.
Existen fórmulas que relacionan los cuantificadores y las modalidades, estas son las Fórmulas de Barcan.
Dichas fórmulas han creado cierta polémica puesto que algunos filósofos consideran que estas fórmulas incumplen la estructura del sistema Kripke.
Estas fórmulas implican que los objetos pertenecientes a un mundo deben existir también en los estados del sucesor a este mundo, por lo que una posible interpretación es que no se pueden crear nuevos objetos.
Fórmulas de Barcan
1. ⋅Ạ ∀xPx ↔ ∀x ⋅Px
De esta fórmula se deduce que parece cierto que todos los mundos accesibles desde el actual poseen el mismo conjunto de individuos.
2. ∃x ⋅Px ↔ ⋅∃xPx
Esta fórmula indica que sólo es verdadero si en cualquier mundo un determinado objeto poseer el mismo nombre siempre, o lo que es lo mismo si los términos son designadores rígidos.


Lógica Temporal Modal

Este tipo interpreta como utilizar acerca del tiempo el lenguaje de modelización del razonamiento. Por tanto, nos permite conocer si un enunciado es verdadero o falso en un momento determinado.
Esta lógica considera instantes de tiempo t0, t1, t2, …, tn en lugar de considerar los distintos mundos posibles m0, m1, m2, … mn.
Suponiendo que se tiene un tiempo discreto inicial, se sustituye la relación de accesibilidad Amimj por la sucesión temporal Stitj, que afirma que a ti le sucede tj. Esta relación también es posible expresarla de forma inversa de modo que a ti le precede tj. (P titj = S-1titi).
Para esta lógica los operadores modales se transforman en operadores temporales.
Considerando la relación de sucesión temporal se obtiene:
  • ⋅→ Ạ: Indica que a partir de ahora A es verdadero.
  • ◊→ Ạ: Indica que en algún instante futuro A será verdadero.
Considerando la relación de precedencia temporal se adquiere:
  • ⋅�? Ạ: Indica que hasta A es verdadero.
  • ◊�? Ạ: Indica que en algún instante pasado A ha sido verdadero.


Aplicaciones de la Lógica Modal

  • Sirve como base para otros tipos de lógicas, tales como:
  • Lógica temporal cuya teoría es “siempre y a veces�?.
  • Lógica epistémica que defiende “conocimiento y creencia�?.
  • Lógica deónticas que se apoya en “obligación y permiso�?.
  • Se utiliza también para especificación de sistemas en tiempo real y procesamiento de lenguaje natural.
  • Tiene importantes aplicaciones en programación puesto que puede darse representaciones expresadas mediante términos de lógica modal.
Destacamos algunas utilidades a continuación:
  • Es útil para que la ejecución de un programa pueda ser vista como una sucesión de estados.
  • Para representar condiciones intermedias o finales del programa (aserciones) a través de relaciones, etc.
El sistema lógico más adecuado para usar lógica modal en programación es S4, en el que la relación de accesibilidad es reflexiva y transitiva.


Las "Paradojas del Condicional"

Estas paradojas son incluidas por la lógica modal y la lógica de la implicación estricta de Lewis.
Hay tesis acerca de la lógica que dan una definición para el condicional que no concierne con el funcionamiento del formato “si … entonces…�?. Ello da lugar a expresiones absurdas.
Ante esto surgen ciertas correcciones, como son:
  • Se precisa de una conexión importante entre antecedente y consecuente, para ello el antecedente debe ser relevante para lograr el consecuente.
  • Se vuelve a definir el condicional “si … entonces…�? como una implicación estricta o condicional formal, debiendo para ello incluir nuevos operadores.


La semántica de los "Mundos Posibles"

Descripción

La semántica de los mundos posibles fue propuesta por Kripke.
Esta semántica enuncia que, una fórmula sea cierta o falsa depende de la manera en que dicha fórmula sea interpretada.
El concepto de mundo posible se utiliza en la lógica modal para pensar en universos alternativos definidos en términos de variaciones a partir del universo presente.
La relación entre la lógica y el mundo se puede tener en cuenta desde dos puntos de vista:
  • desde el Mundo, las oraciones de la lógica referencian ciertas características del Mundo.
  • desde el punto de vista de la lógica, el mundo da significado a las oraciones.
Es conveniente considerar otros mundos posibles, aparte del mundo real, como mundos imaginarios y artificiales. Tanto el mundo real como los posibles, se pueden entender del mismo modo, como Estructuras del Mundo, esto es, un conjunto de individuos y de relaciones establecidas entre ellos. Estas relaciones reciben también el nombre de hechos.
La semántica de los mundos posibles es un modelo formal que ha desarrollado la lógica cuyo objetivo es definir la semántica de operadores modales, especialmente los de necesidad y posibilidad, entre otros operadores.
Posee dos importantes conceptos: la metáfora de "mundo" en la que se describe el dominio semántico que proyecta el texto y el concepto de "modalidad" que describe y clasifica las distintas formas de existencia de los objetos, estados y eventos que forman el dominio semántico.
En Lógica tradicional la semántica que se tiene es muy sencilla: únicamente se trata de establecer, dentro de la estructura del mundo, si las oraciones son ciertas o no lo son. En la gran mayoría de los casos, aquellas oraciones que son verdaderas son de mayor utilidad para el agente.
Las oraciones atómicas son expresiones simbólicas que representan relaciones externas.
La estructura del mundo se puede representar como un conjunto de oraciones atómicas, en términos lógicos. Esta es la forma más sencilla de expresar la estructura del mundo. Si la relación que expresa una oración atómica es verdadera es una estructura del mundo, ésta relación se cumple en dicha estructura del mundo. En cualquier otro caso, es falsa.
La lógica como representación del mundo resulta bastante interesante en el aspecto de que posee una gran habilidad para representar disciplinas entre las estructuras del mundo a través de oraciones no-atómicas.
La veracidad de las oraciones no-atómicas se obtiene a partir de los valores de verdad de oraciones más simples.
En la lógica tradicional las estructuras del mundo son estáticas, ya que representan un único estado del mundo (estado estático). Una manera de entender el cambio es considerar las acciones y otros eventos como las causas de la variación de estado de una estructura estática del mundo a otra.


La base de la lógica modal es la base de este cambio.
Las oraciones en lógica modal, adquieren un valor de verdad de acuerdo a una estructura estática del mundo, esto es, de una colección de estructuras del mundo relacionadas con eventos que cambian el mundo.
Un ejemplo aplicable a la lógica modal, es la siguiente oración:
“En el futuro el cuervo tiene el queso.�?
La oración resulta ser verdadera en la estructura del mundo al principio de la historia y falsa en la estructura del mundo al final de la historia, en el caso en que el mundo se termine después de que por ejemplo, el ciervo tome el queso.
La semántica basada en la validez o falsedad de oraciones sobre una estructura del mundo a través de estructuras del mundo relacionadas con eventos que cambian estados, resulta bastante complicada. Para solucionar este inconveniente, se podría simplificar la semántica e incrementar el poder expresivo del lenguaje lógico, de modo que los estados del mundo fueran tratados como individuos, esto es, considerarlo como algo, como una cosa; este proceso es lo que se conoce como reificación.
A través de la reificación, resulta más sencillo hablar de las cosas. De objetos materiales, parece sencillo, pero no ocurre así hablar sobre los estados del mundo y de objetos abstractos, tratándolos como individuos.
Podemos destacar que la semántica de los mundos posibles se fundamenta en:
  • Mundos posibles.
  • Relación de accesibilidad.
Un mundo posible resulta ser accesible desde otro mundo, si lo que se conoce del primero, lo conoce el segundo mundo.
Siguiendo diferentes propiedades de la relación de accesibilidad, se tienen distintas teorías o también llamadas, sistemas axiomáticos.
Dichas propiedades son las siguientes:
  • la relación o asociación de accesibilidad es reflexiva.
  • la relación de accesibilidad es reflexiva y transitiva.
  • la asociación de accesibilidad es total, es decir, es reflexiva, simétrica y transitiva.

Cálculo de situaciones

El cálculo de situaciones, está de acuerdo con la lógica modal en el método de considerar el cambio como una transformación de un estado del mundo en otro. Difiere en que, el cálculo reifica los estados como individuos.
Las estructuras del mundo contienen las transiciones de estado como relaciones entre estados, por que lo podemos decir que estas estructuras son dinámicas,
Reificar los estados del mundo como individuos da la posibilidad de representar y razonar los efectos de las acciones realizadas en los estados. Si se reifican los hechos, la representación se puede formular con los siguientes axiomas en el cálculo de situaciones:
  • un hecho se cumple en el estado en que es posteriormente una acción si el hecho comienza por la acción y la acción es posible antes de la acción en el estado.
  • Un hecho se cumple en aquel estado en que luego es una acción, siempre que el estado se cumpliera en el estado del mundo que es anterior a la acción. La acción es posible en el estado antes de que ocurra la acción y el hecho no finaliza por la acción.
Una acción se considera que varía el estado del mundo entero. Para razonar sobre el mundo es precisa tener una secuencia de acciones y tener conocimiento de todas las que suceden.
Como ejemplo, es posible la siguiente reformulación ajustada al cálculo de situaciones:
Un animal tiene un objeto en el estado del mundo que es luego de que el animal tenga el objeto y esto es si:
- el animal está cerca del objeto
- en el estado del mundo anterior de que el animal tenga el objeto.
De este modo y siguiendo la reformulación anterior, para un caso particular por ejemplo se tiene:
Estoy cerca del queso en el estado del mundo que es luego de que el cuervo canta�?,
- si el cuervo tiene el queso y
- en el estado del mundo anterior a que el cuervo canta.
El cuervo, canta en el estado posterior al que se adule a éste (cuervo).
Para razonar sobre el estado del mundo, es necesario conocer y razonar acerca de todo lo que ha ocurrido en todas partes del mundo entre el inicio y en fin de la historia de ese mundo.

Visión del mundo orientada a eventos

Es posible dejar a un lado la visión de que las acciones cambian estados globales del mundo, cambiándolas por la visión de que las acciones así como otros eventos pueden suceder en distintas partes del mundo de manera independiente y sin perturbar a otras partes del mundo. Bajo este punto de vista, se tienen los eventos y el efecto de éstos sobre los estados de cosas locales.
Los eventos contienen acciones comunes llevadas a cabo por agentes, bien sean estos animados o inanimados. Los eventos pueden suceder de manera simultánea. En este caso, un evento con una determinada duración se puede descomponer en un instantáneo que lo empiece, continuado por un estado de variación continua, y éste seguido de otro instantáneo que lo finaliza.
Los eventos comienzan y acaban relaciones entre individuos. Los estados locales son aquellos estados para los estas relaciones se cumplen con los períodos.
Como ejemplo, supongamos:
la caída del queso al suelo puede ser descompuesta en el evento: el queso comienza a caer, que inicia el estado durante el cual el queso está cayendo, y finaliza con el evento instantáneo en el que el queso aterriza en el suelo.

Cálculo de eventos simplificado

La lógica permite la representación de estructuras del mundo a través de oraciones no atómicas de una forma más reducida. Es posible tener información de los estados locales con información sobre la ocurrencia de los eventos. Ello se permite gracias al enunciado del siguiente axioma conocido como “el cálculo de los eventos�?, ya que utiliza información de la ocurrencia de los eventos para obtener información de los estados locales. El axioma enuncia lo siguiente:
“Un hecho se cumple en un instante si un evento sucedió antes y ese evento comenzó el hecho, y no existe ningún otro evento que ocurra posteriormente del evento iniciador y que finalice el hecho.�?
El cálculo de eventos resulta ser potencialmente más práctico que el cálculo de situaciones, puesto que requiere únicamente del conocimiento local sobre el efecto de las acciones.

Registro del tiempo

Para garantizar que una acción se haga antes de que sea muy tarde, se requiere registrar el tiempo. Por ejemplo: si alguien comienza la jornada laboral a las 8:00 h, es necesario que las acciones realizadas antes de llegar al trabajo, como levantarse, ducharse, vestirse, desayunar, ir hacia el trabajo, se lleve a cabo antes de la hora mencionada.
Un tipo de reloj interno controla que todas las acciones se realicen a tiempo. Este reloj marcará los eventos que se observan, así como comparará el tiempo actual con los prefijados para llevar a cabo una acción en el futuro. Todo ello, hace que el ciclo agente resulte más complejo.
Por tanto, para realizar el ciclo completo, es preciso:
  • Observar el mundo y registrar la observación con el instante en el que se observa.
  • Pensar,
  • Decidir las acciones que se van a realizar, eligiendo las que no han excedido un límite.
  • Actuar, y comenzar de nuevo el ciclo.


Conclusión

El mundo resulta ser complicado de comprender. Está en continuo movimiento, en el aspecto de que cuando un problema parece ser aclarado, surge otro. Las representaciones mentales son una manera de tratar de estructurar este mundo. Estas representaciones muestran casi únicamente lo que sucede en un instante de tiempo presente.
Las creencias hipotéticas surgen para tratar de explicar el pasado y predecir el futuro. Las predicciones se comparan con la realidad y las creencias se revisan. Todo esto forma parte del ciclo del agente.


Lógica Modal desde una perspectiva actual

Actualmente la visión más moderna de la lógica modal es que es vista como herramienta para identificar importantes fragmentos de lógicas de primer y alto orden, y para tareas de inferencia o modelaje determinadas.
Se considera importantes fragmentos normalmente a fragmentos con buenas propiedades metalógicas comos son completitud, interpolación, etc. También a fragmentos de baja complejidad, con el apropiado poder expresivo, con herramientas de inferencia automáticas, con simplicidad de uso y a diseño de algoritmos de decisión sencillos.
Las tareas de inferencia o modelaje pueden ser muy variadas, desde usos en lingüística, aplicaciones clásicas en filosofía y epistemología hasta los usos más cercanos a la Ciencia de la Computación tales como verificación formal de hardware y software, representación del conocimiento y model checking.


Bibliografía

Situación y evolución de la lógica
Gramatica
Gramática y mundos posibles
Semántica
Posibles Mundos
Los mundos posibles
Visión presente de la lógica modal
Mundos posibles


Componentes del grupo

  • Peñas Albas Muñoz Gómez
  • Carmen Galán Lozano

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