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Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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Método diagonal de Cantor

De Epistemowikia

Tabla de contenidos

Introducción

Georg Cantor enunció y demostró que los números reales no son numerables, apoyándose para ello en el método matemático denominado Método diagonal de Cantor, también llamado Diagonalización de Cantor.

En este método, se demuestra que el intervalo [0,1] no es numerable. Así, una vez demostrado esto se tiene que el conjunto de números reales no es numerable, ya que es posible equipotenciarlos al intervalo demostrado.

Posteriormente, este método inspiró otras demostraciones conocidas como argumento diagonal por las similitudes con él.

Idea básica

Se puede introducir este método a través de un sencillo ejemplo:

Considérense las siguientes tres palabras formadas únicamente por las letras A y B:

ABA
BBA
AAB

A continuación se ha de buscar una palabra que no esté en la lista pero que también esté formada únicamente por las letras A y B. La palabra BAA puede ser válida porque no está en la lista, la BAB también, etc... Pues bien, éste razonamiento es el que sigue el Método diagonal de Cantor, intenta encontrar una palabra que no se encuentra en la lista.

Lo hace de la siguiente forma:

De la primera palabra ve la primera letra y busca una diferente para que la palabra final sea también diferente. Como la primera letra es la A, toma la letra B para la nueva palabra, con la segunda palabra hace lo mismo pero con la segunda letra, es decir, como se trata de la letra B, toma la A para la nueva palabra y con la tercera palabra sigue el mismo razonamiento. Por lo que se obtiene como nueva palabra la siguiente: BAA, diferente a las tres palabras existentes.

Del anterior razonamiento viene el nombre del método, la idea es avanzar a lo largo de la diagonal de la lista de palabras y tomar elementos diferentes de los existentes en la misma, con el fin de crear una nueva palabra que sea diferente a todas las que encuentran en la lista.

Demostración

A continuación se realiza la demostración de que los números reales no son numerables.

La demostración se lleva a cabo por reducción al absurdo:

  1. Se supone que el intervalo de estudio [0,1] es un intervalo infinito numerable.
  2. Por tanto se puede confeccionar una secuencia de números como la que sigue: (r1, r2, r3, r4 ...)
  3. Por otro lado se conoce que los números reales existentes entre 0 y 1 pueden ser únicamente representados escribiendo sus decimales.
  4. Se colocan los números en una lista que no ha de estar necesariamente en orden, en la que se considera que los números decimales periódicos como puede ser por ejemplo 0,299... , es decir, con infinitos nueves, sea igual a 0,300... Por tanto, en ese caso se redondea.

Una secuencia de números reales puede ser la siguiente:


r1 = 0 , 6 3 4 1 5 8 2 ...
r2 = 0 , 4 2 7 2 1 2 5 ...
r3 = 0 , 9 1 5 9 8 2 1 ...
r4 = 0 , 1 2 5 1 0 7 4 ...
r5 = 0 , 9 3 4 1 3 2 3 ...
r6 = 0 , 3 6 2 1 9 4 7 ...
r7 = 0 , 1 2 5 3 1 2 6 ...
...


Con lo que se tendrían todos los números reales que se encuentran comprendidos entre 0 y 1. A continuación, se construye un número real "x" que debe estar en la lista, y lo hacemos usando los dígitos que conforman la diagonal de la misma, es decir, los que se muestran en negrita en la siguiente lista:

r1 = 0 , 6 3 4 1 5 8 2 ...
r2 = 0 , 4 2 7 2 1 2 5 ...
r3 = 0 , 9 1 5 9 8 2 1 ...
r4 = 0 , 1 2 5 1 0 7 4 ...
r5 = 0 , 9 3 4 1 3 2 3 ...
r6 = 0 , 3 6 2 1 9 4 7 ...
r7 = 0 , 1 2 5 3 1 2 6 ...
...


Con ello, el número "x" en cuestión se obtiene de la siguiente forma: el dígito k se corresponde con el k-ésimo dígito de rk, al que se le suma 1 y, en el caso de que éste fuera nueve, se pondría un cero.

Por tanto, el número x sería igual a 0,7362457 , que es un real pero no se sabe dónde se puede encontrar en la lista anterior, ya que si supusiéramos que se encontrase en el n-ésimo lugar de la lista, estaría mal supuesto, puesto que el n-ésimo dígito de rn no es igual al correspondiente de x.

De esta forma se tiene que la lista de trabajo no es una lista completa de los números reales pertenecientes al intervalo [0,1]. Por tanto, se tiene que dada una lista numerada de infinitos reales, siempre es posible formar un número que no está en la lista.

Así pues, existe una contradicción al suponerse inicialmente que dicho conjunto de números era infinito numerable.

La demostración se ha realizado para el intervalo [0,1]. Para extenderla al conjunto de todos los números reales se utiliza una función biyectiva entre éste y el intervalo [0,1] de la forma:

           f:(0,1) \to \mathbb{R} definida por f\left(x\right)=\tan\left(\pi\left(x-\frac{1}{2}\right)\right).

Finalmente, se puede afirmar que existen tantos números reales como números reales hay entre 0 y 1.

Fuentes

Licencia









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