Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 4: de septiembre a diciembre de 2014
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Número áureo

De Epistemowikia

(Redirigido desde Numero aureo)

El número áureo o de oro, número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción es un número designado con la letra griega Phi(\varphi) que es la inicial del nombre del escultor griego FIDIAS. Su valor es:

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,618033988\,749\,894\,848\,204\, 586\,834\,365\,638\ ...

Como muchos otros temas científicos y matemáticos el número Phi era conocido en la antigua Grecia. Después estos conocimientos fueron olvidados para ser redescubierto mas tarde en la historia. Es por esto también que este número recibe varios nombres. Se le ha dado un carácter casi mágico, haciéndolo aparecer, de forma más o menos natural en las matemáticas, en el arte, en la arquitectura y en la naturaleza.

Tabla de contenidos

Presentación Histórica

Son varios los nombres que ha recibido lo que hoy conocemos por sección áurea (o razón áurea, o proporción áurea). De entre ellos podríamos destacar la "división en media y extrema razón"de los griegos o la "proporción divina" de Luca Pacioli, no siendo hasta principios del siglo XIX cuando empezó a usarse "sección áurea".

La primera aparición documentada del término es de 1835, cuando Martin Ohm llamó así a la famosa proporción. En matemáticas es representado por la letra griega \varphi. El nombre Phi fue dado por el matemático americano Mark Barr basado en la primera letra del nombre del escultor griego Fidias quien usara la proporción divina en sus diseños y esculturas. Esta proporción fue inicialmente utilizada por los egipcios, los griegos y posteriormente retomada en la cultura occidental como una medida de estética, un balance entre lo simétrico y lo asimétrico.


Phi en el Antiguo Egipto

Pintura egipcia

Existen numerosos textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C.. Sin embargo no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas.

Es posible que en los constructores y decoradores del antiguo Egipto usasen algún tipo de teoría matemática de las proporciones. Se sabe que en torno al 600 a. C. investigadores egipcios midieron los relieves en Sakkara, en la tumba del faraón Zhoser, que fueron hechos hacia el 2800 a. C. Sobre esta base, construyeron un sistema de proporciones que más tarde fue ampliamente usado. Tal vez es este sistema lo que ahora podemos ver en muchos relieves egipcios como finas líneas sin significado aparente. El número áureo se encuentra en numerosas obras de arte del antiguo Egipto. En la gran pirámide de Keops la relación entre su altitud y la mitad de un lado de su base es casi exactamente Phi.

Aunque no se sabe de cierto que este numero fuese conocido por los antiguos egipcios, el sistema de medidas se basa en la diferentes partes del cuerpo por lo que no es extraño que se encuentre Phi en las pirámides.


Phi en la Antigua Grecia

Pitágoras y sus discípulos trataban de explicar la vida mediante números, de ahí que el principio básico de la hermandad fuera: "Todo es número". Se comunicaban mediante un símbolo secreto: la estrella de 5 puntas, que se obtiene trazando las diagonales de un pentágono regular.

Símbolo pitagórico

Estudiándola descubrieron que, si divides en cualquier pentágono regular el valor de la diagonal entre el valor del lado, el número que obtienes es siempre el mismo, 1,61803… Habían encontrado el número de oro.

Platón observó una forma de particionar un segmento de forma armónica y agradable a la vista que llamó La Sección. Pero el primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió en el libro Los Elementos de la siguiente manera:

"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando, la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Aunque Euclides no relaciona el numero Phi con nada estético o divino. ¿Por qué los griegos se preocuparon de dividir un segmento en extrema y media razón?

  • Un objeto lo podemos dividir por la mitad, o haciendo que una parte sea el doble de la otra, o de forma que una parte sea el triple de la otra, o que una sea ¾ de la otra,... en fin, podemos hacer cualquier partición o división de un objeto.
  • Durante mucho tiempo, los artistas y diseñadores se han preguntado cuál es la más perfecta y armoniosa forma de dividir en dos partes un objeto.
  • También se han preguntado cuál es la relación entre las medidas de las partes que constituyen un objeto para que éste sea bello.
  • La sección áurea era, para Platón, la más hermosa relación entre tres números, la más reveladora de las proporciones matemáticas.

Fidias está considerado como el más fiel exponente del clasicismo heleno, caracterizado más por reflejar la belleza ideal que la real. Para ello, utilizó en muchas de sus obras la proporción de oro, y ello le valió para que el matemático americano Mark Barr utilizara la primera letra de su nombre para designar al número de oro. Entre otras obras utilizó la proporción áurea en el Partenón y los Propileos, la entrada de la Acrópolis.

Vitruvio (1º siglo antes de JC) arquitecto y ingeniero romano autor de "De Architectura" aborda la importancia de las proporciones en la arquitectura pero sin referencias al numero Phi sino al estudio de las proporciones humanas. Siglos más tarde, artistas y arquitectos del renacimiento italiano desarrollaron esa misma idea.

Phi en la Edad Media

Fibonacci (1175 / 1240) es conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números: 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89... que colocó en el margen de su Liber abaci junto al "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo matemático.

El problema en lenguaje actual diría:

"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?"
Dibujo que muestra de forma gráfica la serie de fibonacci a partir del problema de los conejos

Phi en el Renacimiento

Luca di Borgo (nacido en 1445) fraile Franciscano y profesor de matemáticas, también llamado Luca Pacioli, utiliza el número Phi en su libro "de divina proportione" ilustrado por Leonardo da Vinci. En este libro, Pacioli intenta explicar el significado de la Divina Proporción de una forma lógica y científica. Esta y otras obras de Pacioli parece que influyeron profundamente a Leonardo. ¿De dónde viene el nombre de Divina Proporción? En el libro Fra Luca da las siguientes razones:

  1. "Es una sola y no más" (unidad supremo epíteto de Dios mismo);
  2. "Una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos" (como la Santísima Trinidad);
  3. "No puede nunca determinarse con un número inteligible ni expresarse mediante cantidad racional alguna" (Dios no puede definirse propiamente);
  4. "Es siempre la misma y siempre invariable y de ninguna manera puede cambiar" (Dios no puede cambiar);
  5. "Confiere, según Platón, el ser formal al cielo mismo" (Dios confiere el ser a la virtud celeste).

El uso de la Sección Áurea es evidente en las obras principales de Leonardo da Vinci, quien mostró durante mucho tiempo un gran interés por las matemáticas del arte y de la naturaleza. Leonardo hizo un estudio en profundidad de la figura humana, demostrando que todas las partes fundamentales guardaban relación con la Sección Áurea. Esto lo plasmó en una de las ilustraciones más famosas que hizo para el libro de Pacioli conocida como el hombre de Vitruvio. Es probable que fuera Leonardo quien diera por primera vez el nombre de sectio áurea. Una de sus obras principales el rostro de la Mona Lisa encierra un rectángulo dorado perfecto.

Después de Leonardo, artistas como Raphael y Miguel ángel hicieron un gran uso de la Sección Áurea para construir sus obras. La impresionante escultura de Miguel Ángel, El David, se ajusta en varios sentidos a la Sección Áurea, desde la situación del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas con él pretende enseñar a los artistas, pintores y matemáticos de la época diversos métodos para trazar diversas figuras geométricas. En esta obra Durero muestra cómo trazar con regla y compás algunas espirales y entre ellas una que pasará a la historia con su nombre: la Espiral de Durero.

Johannes Kepler (1571 /1630) Astrónomo alemán en Mysterium Cosmographicum considera el número Phi uno de los grandes tesoros de la geometría:

"La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa"

Los constructores de las iglesias medievales y góticas y de las catedrales europeas también erigieron estas asombrosas estructuras para adaptarse a la Sección Áurea. En este sentido, Dios realmente estaba en los números.

Phi en los Siglos XIX y XX

Hasta principios del siglo XIX no empezó a usarse el término "sección áurea". La primera aparición documentada del término es de 1835, cuando Martin Ohm llamó así a la famosa proporción en una nota a pie de página en la que queda claro sin embargo, por lo que el propio Ohm comenta, que no fue él quien lo acuñó.

El alemán Adolf Zeising (1810 / 1876) doctor en filosofía, habla de la sección Áurea pero no del punto de vista geométrico o matemático sino sobre la estética y la arquitectura, para él la sección Áurea es el criterio que define la belleza. Busca y encuentra esta proporción en los monumentos clásicos y en la naturaleza. Zeising lo identificó en la disposición de las venas en las hojas, en la estructura del nautilo y en la composición de cristales. Es el que introduce el lado mítico y místico del número Phi.

Le Corbusier (1887 / 1965) arquitecto Francés, inventa el "modulator" que es un sistema de proporciones arquitecturales basado en el número áureo y en el cuerpo humano. Hay varios cocientes que son el número áureo:

  • La altura de la persona (183) entre la altura a la que está el ombligo del suelo (113).
  • La altura de la persona con el brazo levantado (226) entre la altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140).
  • La altura a la que está el brazo puesto en horizontal (140) entre la altura a la que se encuentra el punto de apoyo de la mano (86).


Matila Ghyka (1961) es un conde rumano que escribió sobre el número Phi, lo encuentra en multitud de monumentos y también en la naturaleza. Para su discurso sobre el número áureo, Matila Ghyka toma como punto de partida los escritos griegos sobre la teoría de los números, en especial los de Nicómaco de Gerasa, llamado "el pitagórico", así como los escritos de Platón.

Salvador Dalí utiliza el rectángulo áureo en algunos de sus cuadros. Dalí siempre estuvo interesado por la pintura renacentista y, poco a poco, fue introduciéndose en las técnicas y sistemas utilizados por los artistas de aquella época.

Dalí mostró especial interés por la obra de Matila Ghyka, fue así como tuvo conocimiento de lo que eran y significaban el Número Áureo y la Divina Proporción. Y no dudó en incorporar estos hallazgos a lo mejor de su pintura. Ghyka asesoró a Dalí en el planteamiento compositivo de "Leda atómica". Para Dalí el conde Ghyka era el último depositario de la ciencia pitagórica en el siglo XX y había que acudir a él para conocer los últimos secretos de este antiguo saber.

Hoy en día la sección áurea se puede ver en multitud de diseños. El más conocido y difundido sería la medida de las tarjetas de crédito, la cual también sigue dicho patrón, así como nuestro carné de identidad y las cajetillas de cigarrillos.


Tarjetas de crédito


Phi en las matemáticas

Definición

El número Phi nace de la solución a la ecuación: x2-x-1=0. Es la ecuación que se plantea cuando se resuelve el siguiente problema geométrico: "Dado un segmento, ¿dónde debe hacerse una división tal que la longitud del segmento sea a la parte mayor como la parte mayor a la parte menor?"

Edificio de la inteligencia americana


Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación:


 \frac{1 - x}{x} = \frac{1}{x} \Rightarrow 1 - x = x^2 \Rightarrow x^2 + x - 1 = 0

Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es:  x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} .

Esta solución es el valor del número áureo y es una prueba formal de que el número áureo es irracional, ya que incluye la raíz de un número primo.

Además de esta aproximación al valor de Phi existen otras formas de hallar el valor de dicho número, algunas de las cuales se muestran a continuación.


Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:


\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \Rightarrow \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}


Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también es la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Con esta expresión es fácil aproximarse al valor de Phi usando la calculadora científica, sólo hay que seguir los pasos:

  • Para empezar introducimos el 1.
  • Calcular el inverso (el botón 1/x). Sumar 1.
  • Calcular el inverso. Sumar 1.
  • Calcular el inverso. Sumar 1.
  • Seguir repitiendo hasta que el resultado no cambie.

Representación mediante raíces anidadas

\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}


Esta fórmula es un caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

El teorema general dice:

La expresión \lim_{n \to \infty} \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_3 + \sqrt{a_4 +\sqrt{\cdots + \sqrt{a_n}}}}}}(donde ai = a), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación x2xa = 0; o sea, \frac {1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}


Con esta formula se tiene otro método para poder obtener Phi con la calculadora:

  • Introduce cualquier número (entero o racional) mayor que –1.
  • Suma 1. Calcula la raíz cuadrada.
  • Suma 1. Calcula la raíz cuadrada.
  • Sigue repitiendo hasta que el resultado no cambie.

Realizando estas operaciones se deducen algunas propiedades, que se exponen en el siguiente apartado.


Propiedades algebraicas

Phi es el único número real positivo tal que:


\varphi^2 = \varphi + 1


La expresión anterior es fácil de comprobar:


\varphi^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{2^2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}


\varphi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}


Phi posee además las siguientes propiedades:


  • \varphi - 1 = \frac{1}{\varphi}


  • \varphi^3 = \frac {\varphi + 1} {{\varphi - 1}}
  • \varphi = \frac{13}{8} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{(n+1)} \quad (2n+1)!}{(n+2)! \quad n! \quad 4^{(2n+3)}}
  •  \sin (x \ln(\varphi)) = \frac{x}{2}
  •  \sin (\frac{\pi}{2} - (x \ln(\varphi))) = \frac{\sqrt {5}}{2}


Phi en la sucesión de Fibonacci

Consideremos la siguiente sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55. Esta sucesión es la llamada "sucesión de Fibonacci".

Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos:

\frac{1}{1} = 1
\frac{2}{1} = 2
\frac{3}{2} = 1.5
\frac{5}{3} = 1.6666666...
\frac{8}{5} = 1.6
\frac{13}{8} = 1.625
\frac{21}{13} = 1.6153846...
\frac{34}{21} = 1.6190476...
\frac{55}{34} = 1.6176471...
\frac{89}{55} = 1.6181818...


Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los términos, los cocientes se acercan más a \varphi = 1,61803....

En lenguaje matemático: \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{t_{n-1}} \approx \varphi

Efectivamente:

L = \lim_{n \to \infty} \frac{t_n}{t_{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{t_{n-1} + t_{n-2}}{t_{n-1}} =  \lim_{n \to \infty} \left (1 + \frac{t_{n-2}}{t_{n-1}} \right ) = 1 + \lim_{n \to \infty} \left (\frac{t_{n-2}}{t_{n-1}} \right ) = 1 + \frac{1}{L}
L = 1 + \frac{1}{L} \Rightarrow L^2 - L - 1 = 0 \Rightarrow L = \varphi


Si en lugar de utilizar 1 y 1 como los primeros números de Fibonacci, se utilizan cualesquiera otros números, el cociente de pares sucesivos igualmente tiende a Phi.

Phi también satisface la siguiente relación: \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}

Y la más magnífica relación es: \varphi^n = F(n) \varphi + F(n-1), donde F(n) es el n-ésimo número de Fibonacci.

Phi en el triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal


Este es el triángulo de Pascal que se forma situando el número uno por sus dos laterales y los demás números se hallan sumando los dos números que tiene justo encima (según las V del dibujo). Sumando los números según las diagonales obtenemos la sucesión de Fibonacci.


El número áureo en la geometría

Hay muchas y variadas figuras geométricas regulares en donde las proporciones áureas hacen aparición, pudiéndose encontrar tanto en el plano como en figuras en 3 dimensiones. Son múltiples las figuras e incluso figuras dentro de figuras geométricas que tienen como razón el número de oro. A continuación se detallan algunas de dichas figuras.


El rectángulo áureo y Euclides

Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es Phi. Este tipo de rectángulo lo usó Fidias en la fachada del Partenón, pero también podemos verlo hoy en las cajetillas de tabaco, el DNI, las tarjetas de crédito, etc.


Construcción del rectángulo de oro

Un ejemplo de creación geométrica es el rectángulo áureo. Construido a partir de dos segmentos cuya proporción es phi. Euclides realiza una peculiar construcción, obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD:

Rectágulo aureo
Rectágulo aureo


El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

La construcción se hace en los pasos:

  • Primero se halla el punto medio entre A y B que llamaremos G, teniendo que:


GC = \sqrt{5}


  • Con centro en G trazando una circunferencia con el compás desde el punto C se obtiene el punto E, y por lo tanto:


GE=GC=\sqrt{5}


  • resultando evidente que:


AE = AG + GE = 1 + \sqrt{5}


  • de donde, finalmente:


\frac{AE}{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \varphi


Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último es asimismo un rectángulo áureo.


Propiedades interesantes del rectángulo áureo:

  • Si es dividido en dos mitades, por su lado más largo, los dos nuevos rectángulos obtenidos tiene cada uno la mitad de área que el original, pero exactamente sus mismas proporciones.
  • Como se puede deducir a partir de su construcción por el método de Euclides si a un rectángulo áureo se le sustrae el cuadrado más grande posible queda de resto un rectángulo áureo proporcional al rectángulo original.
  • Cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.



Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero

A continuación vamos a explicar como se construiría la espiral áurea, partiendo de un cuadrado como en el rectángulo áureo. Cuando se divide el rectángulo áureo progresivamente obteniéndose rectángulos áureos de menor tamaño, se obtiene finalmente una nueva figura, la espiral áurea.

Partiendo de un cuadrado S1,para comenzar a dibujar la espiral aurea seleccionamos uno de los vértices, y trazamos un arco con apertura igual al lado del cuadrado. Como se muestra en la figura:

Construccion de la espiral aurea. Paso1
Construccion de la espiral aurea. Paso1

A continuación construimos un cuadrado S2 cuyo lado es el segmento creado al trazar el arco del rectángulo áureo. Tenemos que continuar trazando el arco de la espiral haciendo centro en la esquina de la que luego vamos a partir para continuar haciendo rectángulos, como se explico en el paso anterior.

Construccion de la espiral aurea. Paso2
Construccion de la espiral aurea. Paso2


El siguiente paso consiste en tomar de nuevo el punto medio del lado del ultimo cuadrado creado y trazar un arco, para construir un nuevo rectángulo, con el lado menor de este rectángulo construimos de nuevo un cuadrado y trazamos el arco que continúa con la espiral.

Haciendo el proceso de división de rectángulo áureos sucesivamente se llega a la siguiente figura, con la que podríamos seguir trabajando infinitamente si pudiésemos hacer también zoom infinitamente.

Construccion de la espiral aurea. Paso N
Construccion de la espiral aurea. Paso N



Triángulo áureo y espiral de Durero

triángulo áureo y espiral de Durero

Otra espiral logarítmica se puede obtener a partir de un triángulo isósceles de ángulos 36º, 72º e 72º.

Los dos tipos de triángulos en los que se divide el triángulo original al hacer la bisectriz, que sería un triángulo isósceles como el de la izquierda
Los dos tipos de triángulos en los que se divide el triángulo original al hacer la bisectriz, que sería un triángulo isósceles como el de la izquierda

Ocurre que \frac{AB}{BC} = \varphi, se dice entonces que es un triángulo áureo.

En ABC, si hacemos la bisectriz del ángulo B hasta cruzarla con el lado del triángulo obtenemos otros dos: DAB y BCD.

El primero cumple que \frac{AB}{AD} = \varphi es por tanto un triángulo áureo.

El segundo es semejante al original y como se supone es también un triángulo áureo.

En este triángulo volvemos a calcular la bisectriz ahora en el ángulo en C y obtenemos los triángulos CDE y CBE, también semejantes a los anteriores.

Continuando este proceso se obtiene una sucesión espiral de triángulos que converge a un punto situado en la intersección de las dos medianas de los dos primeros triángulos.


La espiral se construye uniendo mediante arcos de circunferencia los vértices consecutivos de los triángulos. Ésta espiral coincide en su curvatura con la dibujada anteriormente a partir de la sucesión de rectángulos áureos.

Círculos áureos

Hemos hablado de segmentos y rectángulos de proporciones áureas. Peros, ¿sería posible dividir un círculo en proporciones áureas?.

Al dividir un círculo como el de la figura en dos nos quedan dos semicírculos el azul y el naranja. Al hacer la proporción de las longitudes de los arcos de circunferencia que nos han quedado nos damos cuenta que hemos encontrado la proporción áurea. El ángulo central del arco más pequeño es el ángulo áureo y tiene 137.5 grados.


Círculo dividido en proporciones áureas


Phi en los pentágonos

Pentágono áureo

Detrás del pentágono regular se esconde esta misma proporción entre los lados del pentágono y sus diagonales

Pentagono
Pentagono

Vamos a ver detalladamente tal relación, partiendo del hecho de que los triángulos ABC y BCD son semejantes tenemos que:

\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{DB}

Suponiendo AD = a y DC = b, tenemos que y sabiendo que AB = AD

 \frac {(a + b)} {a} = \frac{a}{b}

Que operando nos lleva a:

\ b^2 + a*b = a^2

Dividimos todo por b2

1 + \frac{a}{b} = \frac{a^2}{b^2}

Sustituyendo \frac{a}{b} = x

\ 1 + x = x^2 \Rightarrow x^2 - x - 1 = 0

Solucionando esta ecuación obtenemos el número \varphi

\frac{1+ \sqrt{5}}{2}

Explicado desde otro punto de vista

Pentagrama dentro de pentágono




Consideremos un pentágono regular en el cual se han dibujado las diagonales. En esta figura sólo aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a alguno de estos y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro segmentos diferentes en estos triángulos, que llamaremos: BE = a, AB = AE = b, AF = BF = AG = c y GF = d. Las longitudes de estos segmentos cumplen: a > b > c > d.





Consideremos cada uno de estos triángulos por separado y apliquemos el teorema del seno:

Triángulo ABE

\frac{a}{sin (108)} = \frac{b}{sin (36)} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{sin(108)}{sin(36)}


Triángulo ABF

\frac{b}{sin (108)} = \frac{c}{sin (36)} \Rightarrow \frac{b}{c} = \frac{sin(108)}{sin(36)}


Triángulo AFG

\frac{c}{sin (108)} = \frac{d}{sin (36)} \Rightarrow \frac{c}{d} = \frac{sin(108)}{sin(36)}


Como 72º = 180º - 108º, se verifica que sen72º = sen108º.

En consecuencia podemos establecer las siguientes proporciones:

\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{sin(108)}{sin(36)}

Es decir, una vez ordenadas las longitudes de los cuatro segmentos de mayor a menor, la razón entre cada una de ellas y la siguiente es constante e igual al número de oro.

Tomando la primera de las proporciones, teniendo en cuenta que c = a - b y haciendo b = 1:

\frac{a}{b} = \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{a-b} \Rightarrow \frac{a}{1} = \frac{1}{a-1} \Rightarrow a^2 - a - 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Es decir, dos de estos segmentos consecutivos cumplen la proporción áurea.

Como consecuencia, se verifica: \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{sin(108)}{sin(36)}


Phi en el pentagrama

Proporciones áureas en el pentagrama

Este pentagrama ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos (rojo, azul), (azul, verde) y (verde, morado) tienen proporciones áureas.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea \varphi. Por lo tanto el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.


Pentagramas dentro de pentagrama


El dodecaedro

El pentágono, asimismo, es la base para construir el cuerpo sólido perfecto, el dodecaedro. Platón en el Timeo afirma que el dodecaedro es la materia de la que está hecha el elemento perfecto, el éter, y simboliza además la perfección del Universo.


Dodecaedros


Phi en la naturaleza

Phi pasó a ser llamada la divina proporción por ser encontrada en la naturaleza. El hombre no solo la ha descubierto sino que se ha valido de ella para la creación estética.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas.

Caparazon de molusco en espiral
Caparazon de molusco en espiral
Galaxia en espiral
Galaxia en espiral


La encontramos presente en elementos tan pequeños como las ramas de las plantas, los pétalos de una flor o el caparazón de un molusco y en fenómenos tan grandes como huracanes o las galaxias.




En la semilla de muchas plantas, el ángulo que separa a cada uno de los brotes consecutivos que surgen de ella es la división del circulo completo 360º entre Phi, y es que así se asegura que a medida que crece las ramas no crecerán unas sobre otras sino que cada una alcanzará una disposición diferente aprovechando mejor la luz del sol.

En el girasol las semillas de las pipas están dispuestas en forma de espiral, en un sentido podemos encontrar 34 y en el otro 55, los dos curiosamente números de fibonnaci.

Espirales del girasol
Espirales del girasol






Phi en el arte

La mona lisa

La mona lisa
La mona lisa


Leonardo es un gran apasionado de las matemáticas y como tal lo demuestra en sus obras de arte. En el esquema se puede ver como el rostro de la Gioconda se encuadra perfectamente en un rectángulo aureo.


Se puede apreciar que justo la división del rectángulo áureo superior coincide con la raya de nacimiento del pelo, pasa por la mitad de la nariz. Con sucesivas divisiones del rectángulo áureo se aprecia como los ojos quedan perfectamente encuadrados.




El hombre de Vitruvio

Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de los textos de arquitectura de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma, del cual el dibujo toma su nombre. El cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea.

El hombre de Vitruvio
El hombre de Vitruvio

El dibujo también es a menudo considerado como un símbolo de la simetría básica del cuerpo humano y, por extensión, del universo en su conjunto.

En las esculturas antiguas el ombligo divide su altura total, según la proporción áurea, situando la parte menor desde la cabeza al ombligo y la mayor desde éste a los talones. Esta proporción áurea se encuentra también en el rostro. Si trazamos una recta desde la raíz del cabello a la parte inferior del mentón, la base de la nariz es el punto de oro, que divide la cara en dos partes desiguales pero armónicas.

Las tres falanges del dedo medio o anular dan tres términos consecutivos de proporción áurea; en el dedo pulgar se vuelve a repetir esta proporción áurea en las personas perfectamente proporcionadas. Es sorprendente constatar que los seres humanos también tenemos esta divina proporción, como la llamó Luca Paccioli, y que esa misteriosa Inteligencia que ideó nuestros cuerpos sobre la base del programa genético de la Naturaleza, lo hizo a conciencia y con sabiduría.


Otras obras de arte

Son muchos los artistas que utilizan esta proporción en las dimensiones de sus cuadros, Leonardo Da Vinci en su cuadro La anunciación, El jardín del Edén de Jan Bruegel o las oras de Piete Mondrian.

Muchas de las obras creadas por los artistas no es fácil observar la propoción aurea a simple vista, pero de algunas obras se conservan los bocetos, como en la obra de Leda atómica de Dalí y se puede ver como se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por el artista basado en el pentagrama místico pitagórico.

En las obras La Sagrada Familia de Miguel Angel o La crucifixion de Raphael se puede apreciar como las figuras pricipales de la imagen se alinean con el pentagono en la primera pintura y en la segunda se situan en los vértices del triángulo áureo.

Las meninas de Velásquez emplea constantemente con la divina proporción jugando con la perspectiva visual para conseguir crear la profundidad del cuadro, y dar la impresión al espectador de estar contemplando una escena de una pieza teatral.

Phi (\varphi) en la música

Como en cualquier otra ciencia, los autores buscan siempre obtener el equilibro perfecto entre armonía, belleza y estabilidad. Pudiera parecer que las composiciones se realizan de forma aleatoria, basándose únicamente en las directrices del autor. Pero lo que es cierto es que muchos autores musicales, consciente o inconscientemente, incluyeron la divina proporción en sus más destacadas obras. Puede que el hecho de que las composiciones sigan este determinado cauce, proporcione a cada una de las piezas musicales, una belleza innata. Veamos algunos ejemplos. Antonio Stradivarius (1644-1737), nacido en Cremona, llevó su oficio de constructor de instrumentos, en especial de violines, a su máxima perfección, siendo sus mejores obras los ejemplares construidos entre 1700 y 1725. Utilizó la razón áurea para realizar sus violines de manera que, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relacione con el número phi.

Violín Stradivarius
Violín Stradivarius
En su Quinta Sinfonía, Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea. El clímax de la obra se encuentra al 61,8 % de ella.

La famosa apertura “motto” suena exactamente en el punto dorado 0,618(*) en el compás 372 de 601 y nuevamente en el compás 228 el cual es el otro punto dorado (0.618034 desde el final de la pieza), por esta razón Beethoven tuvo que usar 601 compases para conseguir esas figuras. Esto lo hizo ignorando los 20 compases finales que vienen detrás de la ocurrencia final del “motto” e ignorando a su vez el compás 387.

Cuatro primeras notas: corto,corto,corto,largo
Cuatro primeras notas: corto,corto,corto,largo
(*)NOTA: 0,618 es el inverso del número phi (\varphi), esto es: \frac{1}{\varphi}, que se suele representar como Phi 
(mayúscula), o con la letra griega Φ.

Entonces Φ = \frac{1}{\varphi} = 0.618033988749895...


Schubert y Debussý incluyeron relaciones áureas en sus obras, basándose en los equilibrios de las masas sonoras. Mozart introdujo la razón áurea en varias de sus sonatas, haciendo que la introducción del tema y su desarrollo fueran muy aproximados al número phi. Veamos donde podemos encontrar la proporción áurea en la sonata:


Caracteristicas de la Sonata Nº1 para piano de Mozart


El segundo tema armónico de la obra siempre es más extenso que el primero:

Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 63 / 38 = 1.6315

Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 46 / 28 = 1.6428

Otros instrumentos musicales, a parte de los violines, incluyen la divina proporción en sus formas, por ejemplo, el piano está constituido por siete octavas ordenadas de forma creciente de graves a agudas. De esta manera, los primeros seis números de la Sucesión de Fibonacci figuran en una octava de piano, la cual consiste en 13 teclas, 8 teclas blancas y 5 teclas negras ( en grupos de 2 y 3)

Escala de un piano
Escala de un piano


La razón de todos los segmentos de un pentagrama equivale a PHI
Imagen:PentagramaMusical.JPG
Pentagrama que muestras las notas


Bartók en su obra “Música para instrumentos de cuerda, percusión y celesta”, utilizó la serie de Fibonacci, para crear su escala e introducir así en su obra la razón áurea.

Imagen:PentagramaFibonacci.JPG
Pentagrama que muestras las notas, con distribución de Fibonnacci


Apple quiso dotar a uno de sus reproductores de música en mp3 de una belleza incomparable, para ello decidió incluir la proporción del rectángulo áureo en su Ipod. Si nos fijamos en la medida del Ipod Classic de 80 gigas, comprobaremos que su relación es exactamente el número PHI. [1]


Phi(\varphi) en la arquitectura

Al ser Phi(\varphi) un número representativo de la belleza y la perfección en las formas, las más increíbles creaciones del ser humano, deben tener alguna relación con phi(\varphi). La propia naturaleza incluye a phi en muchas de sus creaciones, las cuales parecen imperecederas en el tiempo. Por tanto parece obvio, que conociendo la relación áurea, los hombres, aprovechen sus propiedades para construir monumentos totalmente intemporales. Así por ejemplo el Partenón de Atenas, en Grecia, sigue claramente las proporciones áureas, dotando a la construcción de una belleza y una estabilidad sin igual. Como puede apreciarse en las imágenes, el Partenón es un claro ejemplo de cómo los arquitectos y constructores inspiran sus obras en la relación con la divina proporción.

Imagen del Partenón de Athenas
Imagen del Partenón de Athenas
Imagen:Partenon3.JPG
Imagen del Partenón de Athenas.Esquema












Otra de las obras, más conocidas del mundo, como es la Catedral de Notre Dame, en Francia, sigue claramente una distribución áurea. Su modelo de construcción está inspirado en la teoría del segmento áureo, visto en este documento. En la siguiente imagen, puede apreciarse, como Notre Dame se apoya en Phi para elevarse majestuosamente desde el suelo.

Imagen de la catedral de Notre Damme
Imagen de la catedral de Notre Damme


Francia, es un buen ejemplo de construcciones que utilizan la relación Áurea, ya que dos de sus obras más emblemáticas, se apoyan en la divina proporción. La segunda de estas obras es la Torre Eiffel. Veamos la siguiente imagen donde se ilustra, la relación de la torre Eiffel con la divina proporción y después lo explicaremos:

Imagen:TorreEiffel.JPG
Torre Eiffel, con las proporciones Áureas

Los ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros, que sería el lado pequeño de un rectángulo áureo. Pues poniendo dos rectángulos conseguimos la altura de esta torre. 100 * \varphi * 2 \approx 323.61 metros que es la altura de la torre. También se encuentra esta proporción en las diferentes partes de la torre. En el dibujo se muestra la relación donde el espacio azul seria igual a uno y Phi(\varphi) seria el espacio azul más el dorado.



Pirámides de Gizah
Pirámides de Gizah
Pirámides de Keops, relación Phi
Pirámides de Keops, relación Phi



Por supuesto, la relación áurea no es algo que lleve usándose en las construcciones más recientes. Desde el antiguo Egipto, los constructores conocían la existencia de un número que representaba las proporciones de la belleza y la perfección. De hecho su nombre, la Divina Proporción, ofrece una clara descripción de Phi. Una de las civilizaciones consideradas más inteligentes, tenían que usar esta proporción en sus obras, de manera que consiguieran convertirlas en intemporales. La siguiente imagen muestra la forma de incluir la divina proporción en sus pirámides.





La relación de las pirámides con el número Phi viene expresada, de la siguiente forma: Situemos varios puntos en la imagen de la pirámide de Keops: La B, estará en la cima de la pirámide, la C estará en la base y la A, será el centro de la pirámide, tocando el suelo: Si la distancia AC es igual a 1, AB mide la raíz cuadrada de phi y BC mide phi. La pirámide de Keops mide 230 metros de lado, la base de la pirámide es cuadrada.

1) AC = \frac{230}{2} = 115;    \sqrt{\varphi} \approx 1.272
2) AB = \sqrt{\varphi} --> \sqrt{\varphi} * 115 \approx 146.28 que son los metros de altura de la pirámide de Keops.
3) BC = \varphi * 115 \approx 186.07 metros desde el centro de un lado de la base hasta el pico de la pirámide.




Edificio de Naciones Unidas. New York
Edificio de Naciones Unidas. New York



Una obra de reciente construcción es el edificio de Naciones Unidas, que también ha decidido incluir la divina proporción. Es un aspecto muy a tener en cuenta a la hora de desarrollar cualquier proyecto de arquitectura, ya que parece que cualquier obra que se apoye en la divina proporción, está dotada de una belleza innata y de una estabilidad y durabilidad sorprendente.

Si la naturaleza aprovecha las características de la relación áurea, es lógico que los humanos imitemos este comportamiento. En la siguiente imagen se muestra la relación que hay entre Phi y el edificio de las Naciones Unidas. Cada uno de los tres rectángulos que forman las distintas partes del edificio, siguen las proporciones del rectángulo áureo.





Otra obra de reciente construcción que sigue las proporciones áureas, es la Universidad Politécnica Estatal de California. Cuyo plano está basado en los números de Fibonacci y en otros esquemas áureos como la Espiral Áurea. [2]


Incluso está presente en el edificio que como su nombre indica es un pentágono situado en Washington.


Edificio de la inteligencia americana



Imagen:PuertaTiwanaku3.jpg
Puerta de Tiwanaku. Perú

Hay una obra, de la cual aún se desconoce su origen exacto, que también está inspirada en la proporción áurea. Se conoce como: La Puerta del Sol de Tiwanaku. Está situada en una región muy próxima al lago Titicaca y lo único que se conoce de su origen es que ya estaba en ruinas cuando surgió el Imperio de los Incas, en el siglo XII.[3]






Curiosidades \varphi

Phi En el Sistema Solar

Planeta Saturno mostrando la relacion phi
Planeta Saturno mostrando la relacion phi

El sistema solar es un claro ejemplo de estabilidad y precisión. Parece que también se han hallado pruebas que confirman que el sistema solar sigue una distribución basada en el número Phi: En los anillos del planeta Saturno se encuentra la relación Phi. Si el segmento dorado es igual a 1, el segmento azul es igual a Phi.









Phi en una gota de agua

Una gota o una burbuja, proceden de un líquido que, por el aumento de su peso, se han desprendido de su origen y actúan a merced de la gravedad, aunque si nos fijamos bien, comprobaremos que siguen manteniendo en parte su forma esférica original, aunque una parte de ella se encuentre estirada. Podría pensarse que una gota, tiene una forma aleatoria, dependiendo del fluido del que proceda, pero lo cierto es que puede establecerse una relación entre la forma de la gota y el número PHI. Debido a que la gota tiene una forma ovalada y un huevo, puede seguir la proporción áurea, puede establecerse una relación áurea.

De esta forma, otros objetos, tales como los cometas, podrían seguir también la divina proporción en sus formas. Al menos la forma que obtenemos al mirar con un telescopio.


Soneto a la Divina Proporción

Rafael Alberti dedicó un soneto a la Divina Proporción:


A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.


Aritmética multiprecisión

Para calcular el valor de PHI \varphi, basta con hacer la siguiente operación:

\varphi = \frac{(1 + \sqrt{5})}{2}

El resultado que obtenemos es un número con infinitas cifras decimales, las cuales no queda más remedio que aproximar. Por tanto inevitablemente cada vez que trabajamos con el número PHI, estamos cometiendo un error de aproximación, que puede variar dependiendo del número de cifras decimales que tomemos. Este cálculo es especialmente delicado para los computadores, ya que se enfrentan a tener que manejar un número infinitamente largo, con una capacidad de memoria finita. Dependiendo de las diversas arquitecturas, se toman unas decisiones de diseño u otras. Por ejemplo para ordenadores Mac, existen unos paquetes de software libre que facilitan los cálculos con aritmética de punto flotante con precisión arbitraria (miles e incluso millones de dígitos). Estos paquetes están disponibles tanto para la Arquitectura PowerPC como para Arquitectura Intel. Estos paquetes son: GMP[4] y ARPREC[5].

Como sabemos la gran mayoría del software de los ordenadores, se ve directamente limitado, por la capacidad del hardware de realizar cálculos con números muy grandes, ya que están limitados al tamaño de los operandos de coma flotante que pueden utilizar. Por ejemplo en el lenguaje C, los tipos de datos de coma flotante, son float y double, que incluyen mantisas de 34 y 56 bits respectivamente; en algunas plataformas, por ejemplo Machintosh, hay un tipo de datos: long double que permite incrementar el tamaño de la mantisa a 106 bits. Para el cálculo que requiere hacerse si usamos el número PHI, obviamente necesitaremos muchos más bits que los ofrecidos hasta ahora, para tratar de minimizar el error lo máximo posible. Aunque siempre seguiremos teniendo el problema de tratar de manejar un número infinito con una capacidad de almacenamiento finita. Hay varios sitios, donde nos ofrecen ya calculadas, una cantidad determinada de cifras decimales para el número PHI: http://goldennumber.net/phi20000.htm


Teoría para cálculos con aritmética de multiprecisión:

Veremos cómo son los algoritmos clásicos que permiten el manejo de números enteros de precisión arbitraria, haciendo uso de unos recursos no finitos, tanto de memoria como de potencia de cálculo.


Los Algoritmos Clásicos:

Veremos algoritmos para:

a) Suma o resta de enteros con n-cifras, dando una respuesta de n-cifras y acarreo
b) Multiplicación de un entero de n-cifras por un entero de m-cifras, dando una respuesta de (n+m)-cifras
c) División de un entero de (n+m)-cifras por un entero de n-cifras, dando un cociente de (m+1)-cifras y un resto de n-cifras.


Se les llamó algoritmos clásicos desde que la palabra “algoritmo” comenzó a usarse para estos procesos hace ya algunos siglos. El término entero de n-cifras, se refiere a un número entero menor que bn, donde b es la base en la que los números se expresan; estos números pueden escribirse, usando como máximo n-cifras.

Veremos de una forma resumida algoritmos que realizan las operaciones a), b) y c) sobre enteros expresados en base b , donde b es >=2. Un aspecto importante a tener en cuenta de los números de multiprecisión es que hay que contemplarlos como números escritos en base w, donde w, es el tamaño de palabra del computador. Por ejemplo un entero, que ocupe 10 palabras en un computador cuyo tamaño de palabra es 1010, tiene 100 cifras decimales, pero consideraremos que es un número de 10 cifras en base 1010.


Algoritmo A: (Suma de números enteros no negativos)

Dados un par de enteros de n-cifras, no negativos  \left( u_1, u_2,..., u_n \right) y \left(v_1, v_2,..., v_n \right ) el algoritmo construye su Suma en base b \left(w_0, w_1,..., w_n \right )_b. Aquí W0 es el acarreo y siempre es igual a 0 ó a 1.

A1: [Inicialización] Ponemos: j = 0, k = 0 (La variable j se moverá a través de las posiciones decimales y la variable k, almacenará el acarreo en cada paso)

A2: [Suma de dígitos] Ponemos: w_j = \left( u_j  + v_j + k \right) mod \ b , y k = \left \lfloor \frac{u_j + v_j + k}{b} \right \rfloor En otras palabras, k se pone a 0 ó 1, dependiendo de si hay o no acarreo, es decir, si uj + vj + k > = b o no. Al menos siempre se producirá un acarreo entre las dos sumas, ya que:

 u_j + v_j + k <= \left( b - 1 \right) + (b - 1) + 1 < 2b, por inducción en los computadores

A3: [Bucle en j] Decrementamos j en una unidad. Ahora si j > 0 volvemos al paso A2 y sino ponemos w0 = k y terminamos el algoritmo.


Algoritmo S: (Resta de números enteros no negativos)

Dados un par de enteros de n-cifras, no negativos  \left(u1, u2,..., u_n) >= (v_1, v_2,..., v_n \right) el algoritmo construye su resta en base b  \left( w_0, w1,..., w_n \right)_b

S1: [Inicialización] Ponemos: j = 0, k = 0

S2: [Suma de dígitos] Ponemos: w_j = \left( u_j  - v_j + k \right) mod \ b , y k = \left \lfloor \frac{u_j - v_j + k}{b} \right \rfloor

En otras palabras, k se pone a 0 ó -1, dependiendo de si hay rebose o no, es decir, si ujvj + k < 0 o no. En el cálculo de wj, nótese que se asume que debemos tener :

(-b) = 0 - (b - 1) + (-1) <= U_j - V_j + k <= \left( b - 1 \right) - 0 + 0 < b; de ahí  0 <= U_j - w_j + k + b < 2b \quad.


S3: [Bucle en j] Decrementamos j en una unidad. Ahora si j>0 volvemos al paso S2 y sino terminamos el algoritmo. (Cuando el algoritmo termina, debemos tener k = 0, sólo tendremos k = 1 si y sólo si: \left( v_1, v_2,..., v_n) > (u_1, u2,..., u_n \right ) y esta situación entra en contradicción con las suposiciones inciales).


Algoritmo M: (Multiplicación de números enteros no negativos)

Dados un par de enteros de n-cifras, no negativos \left( u_1, u_2,..., u_n \right) y \left (v_1, v_2,..., v_m \right ) el algoritmo construye su Suma en base b \left(w_0, w_1,..., w_{n+m} \right)_b. El tradicional método del lápiz y el papel se basa en ir construyendo los productos parciales de \left( u_1, u_2,..., u_n \right) * v_j primero para j = 1 hasta m y después ir sumando esos productos con su escala apropiada. Pero en un computador, es mejor hacer las sumas concurrentemente con los productos, de la forma en la que describe el algoritmo.

M1: [Inicialización] Ponemos \left( w_{m+1}, w_{m+2},..., w_{m+n} \right ) todo a 0. Ponemos j = m;

M2: [¿Multiplicación por 0?] Si vj = 0 , inicializamos wj = 0 y saltamos al paso M6. (Esta comprobación ahorra un valioso tiempo si la multiplicación que va a realizarse es por 0, de otro modo, este paso puede omitirse)

M3: [Inicialización de i] Ponemos: i = n, k = 0

M4: [Multiplicar y Sumar] Ponemos t = u_i * \left (V_j + W_{i+j} + k \right); entonces ponemos w_{i+j} = t\ mod \ b y k = \left \lfloor \frac{t}{b} \right \rfloor. (Aquí el acarreo k siempre estará en el rango 0 < = k < b)

M5: [Bucle en i] Decrementamos i en una unidad. Ahora si i\ >\ 0 volvemos al paso M4 y sino ponemos wj = k

M6: [Bucle en j] Decrementamos j en una unidad. Ahora si j\ >\ 0 volvemos al paso M2 y sino terminamos el algoritmo.


Algoritmo D: (División de números enteros no negativos)

Dados un par de enteros de n-cifras, no negativos \left( u_1, u_2,..., u_{n+m} \right)_b y \left( v_1, v_2,..., v_n \right)_b, donde v_1\ !=\ 0 y n > 1, formamos el cociente de base b \left \lfloor \frac{u}{v} \right \rfloor  = \left ( q_0, q_1, q_2, .., q_m \right )_b y el resto u\ mod\ v = \left ( r_1, r_2, r_3, ..,r_n \right )_b

D1: [Normalizar] Ponemos d = \left \lfloor  \frac{b}{\left ( v_1 + 1 \right )} \right \rfloor, luego ponemos \left( u_0,u_1, u_2,..., u_{n+m} \right)_b igual a \left( u_1, u_2,..., u_{n+m} \right)_b veces d y \left( v_1, v_2,..., v_n \right)_b igual a \left( v_1, v_2,..., v_n \right)_b veces d.

Nótese la introducción de un nuevo dígito '''u0''' a la izquierda de u1; si d==1 , todo lo que tenemos que hacer en este paso es poner u0 = 0. En un ordenador binario, es preferible elegir d para que sea un número múltiplo de potencia de 2, en lugar del sugerido aquí; cualquier valor de d que dé un resultado de v_1 >= \left \lfloor \frac{b}{2}  \right \rfloor , será suficiente.

D2: [Inicialización de j] Ponemos: j = 0 (El bucle en j, desde los pasos D2 hasta D7 será esencialmente una división de \left( u_j,u_{j+1},...,u_{j+n} \right)_b entre \left( v_1, v_2, ..v_n \right)_b, para conseguir un único dígito del cociente qj.

D3: [Calcular \hat {q}] Si u_j\ =\ v_1, entonces \hat {q}\ =\ b-1, sino \hat {q} = \left \lfloor \frac{\left( u_jb+u_j+1 \right)}{v_1} \right \rfloor.

Ahora comprobamos si v_2 \hat {q} > \left( u_jb + u_{j+1} - \hat {q} v_1 \right)_b + u_{j+2} . Si es así, entonces decrementamos \hat {q} en una unidad y volvemos a realizar el test.

D4: [Multiplicar y restar] Reemplazamos \left( u_j, u_{j+1},..., u_{j+n} \right)_b por \left( u_j,u_{j+1},...,u{j+n} \right)_b menos \hat {q} veces \left( v_1,v_2,..., v_n \right)_b Este paso (análogo a los pasos M3, M4 y M5 del algoritmo M) consiste en una simple multiplicación de un número de una cifra, junto con una resta.

Los dígitos \left( u_j,u_{j+1},...,u{j+n} \right)_b deben conservarse positivos.

D5: [Comprobar el test] Ponemos q_j = \hat {q}. Si el resultado del paso D4, fue negativo, saltamos al paso D6, sino, saltamos a D7.

D6: [Suma hacia atrás] (La probabilidad de que este paso sea necesario, es relativamente baja , del orden de frac2b, ya que los datos que activan el test en este paso, deben ser cuidadosamente controlados en la fase de depuración.) Decrementamos qj en una unidad y sumamos \left( 0,v_1,v_2,...,v_n \right)_b a \left( u_j,u_{j+1},...,u_{j+n} \right) (Si hay acarreo, se desprecia.)

D7: [Bucle en j] Incrementamos j en una unidad, si j >= m, volvemos a D3

D8: [Des-normalización] Ahora \left( q_0, q_1, q_2,..., q_n \right) es el cociente deseado y el resto que buscábamos debe obtenerse de dividir: \frac{\left( u_{m+1}, u_{m+2},... u_{m+n} \right)_b} {d}.


Autores:

Pavaro04 : Pablo Antonio Valiente Rocha

Crbaar04 : Cristina Barra Arias

Fjhermoso : Francisco Hermoso Baños

Enlaces externos

Bibliografía

  • Ghyka, Matila C. El Número de Oro I y II, Poseidón, 1968.
  • Ghyka, Matila C. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Poseidón, 1977.
  • Pacioli, Luca. La Divina Proporción, Ediciones Akal, S.A. 1991. Traducción del original de 1509.
  • Donald E. Knuth. The art of computer programming. Volumen 2, 1981.

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