Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 3: de julio a agosto de 2014
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Plano afín

De Epistemowikia


En construcción.


Tabla de contenidos

Recta

El resto de ecuaciones de la recta, en la sección «Espacio afín».

Ecuaciones

General, cartesiana o implícita

Punto: A \equiv (a_1,a_2) \,

Vector director: \vec v \equiv (v_1,v_2) \,

Ecuación: r \equiv Ax + By + C = 0, siendo A = v_2, B = -v_1, C = -a_1 v_2 + a_2 v_1 \,

Conocida la ecuación general Ax + By + C = 0 \, de una recta, su vector director es (-B,A) \,.

Punto-pendiente

Punto: A \equiv (a_1,a_2) \,

Vector director: \vec v \equiv (v_1,v_2) \,

Pendiente: m = \frac{v_2}{v_1} \,

Ecuación: r \equiv y - a_2 = m(x-a_1)

Explícita

r \equiv y = mx + b \,, siendo b \, la ordenada en el origen.

Dada la recta r \equiv Ax + By + C = 0 \,, con B \ne 0 \,, su ecuación explícita es r \equiv y = -\frac{A}{B}x -\frac{C}{B} \,. Obsérvese que si B = 0 \,, entonces la recta r \, es paralela al eje OY \,.

Canónica o segmentaria

r \equiv \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \,, siendo A \equiv (a,0) \, el punto de corte con el eje OX \, y B \equiv (0,b) \, el punto de corte con el eje OY \,.

Incidencia

Incidencia de puntos y rectas

Los puntos A_1 \equiv (a_{1 1},a_{1 2}), ..., A_p \equiv (a_{p 1},a_{p 2}) \,, están alineados si son incidentes con la misma recta. Esto ocurre precisamente si los vectores \overrightarrow{A_1 A_2}, ..., \overrightarrow{A_1 A_p} son linealmente dependientes, i.e. proporcionales, en otra palabras, que tienen la misma dirección.

Incidencia de rectas

Las rectas r \equiv Ax + By + C = 0 \, y r' \equiv A'x + B'y + C' = 0 \, son secantes (inciden en un punto) precisamente si r \equiv AB' \ne A'B \,.

Se llama haz de rectas de vértice P \equiv (p_1,p_2,p_3) \, al conjunto de rectas incidentes con P \,.

La ecuación del haz de rectas de vértice P \, es: \alpha(x-p_1) + \beta(y-p_2) = 0 \,, siendo \alpha,\beta \in \R \,, con \alpha\beta \ne 0 \,.

Dadas las rectas r \equiv Ax + By + C = 0 \, y r' \equiv A'x + B'y + C' = 0 \,, secantes en P \,, la ecuación del haz de rectas de vértice P \, es: \alpha(Ax + By + C) + \beta(A'x + B'y + C') = 0 \,, siendo \alpha,\beta \in \R \,.

Paralelismo

Paralelismo de rectas

Dos rectas r \equiv Ax + By + C = 0 \, y r' \equiv A'x + B'y + C' = 0 \, son paralelas (se nota r \parallel r' \,), precisamente si tienen la misma pendiente, es decir, r \parallel r' \Leftrightarrow \frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \,.

Si además:

a) \frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \,, entonces las rectas son paralelas y coincidentes;

b) \frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} \ne \frac{C}{C'} \,, entonces las rectas son paralelas y distintas.

Recta paralela a otra por un punto

Dados un punto y una recta r \equiv Ax + By + C = 0 \,, existe una única recta r' \, que pasa por P \equiv (p_1,p_2) \, y que es paralela a r \,.

Su ecuación es: r' \equiv Ax + By + C' = 0 \,, siendo C' = -Bp_2-Ap_1 \,.

Haz de rectas paralelas

Se llama haz de rectas paralelas a una recta dada r \equiv Ax + By + C = 0 \,, al conjunto de todas las rectas paralelas a r \,.

La ecuación del haz es: r \equiv Ax + By + k = 0 \,, siendo k \in \R \,.


Transformaciones en el plano afín

...


Ejercicios

Enunciados y soluciones

1.-

Hállese la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,0) y por el punto intersección de las rectas r \equiv 3x + 2y - 4 = 0 \, y r' \equiv x + 5y + 2 = 0 \,

Sol.:

...

2.-

Sea la curva de ecuación y = 2x^3 - 3x^2 + x - 2 \,.
a) Demuéstrese que todas las rectas que cortan a dicha curva en tres puntos tales que uno de ellos es el punto medio de los otros, pasan por un mismo punto.
b) Hállese dicho punto.
(Pueden ayudar las relaciones de Cardano).

Sol.:

...

Bibliografía

  • Anzola, Máximo y Caruncho, José (1981) Problemas de Álgebra. Tomo 6. Geometría Afín y Euclidea. Edición propia, Madrid. (Capítulos 3 y 4).
  • Ríos, Sixto (1974) Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría. ICE, Madrid. (Capítulos 6 y 7).
  • Sánchez, Rafael (1992) Ejercicios de Álgebra Lineal, Edición propia, Granada. (Capítulos 7 y 8).


Enlaces externos

  • ...


INDEX

  • EUNIMAT (Enciclopedia Universal Ilustrada de la MATemática)


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© Juan Miguel León Rojas, 2010.


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