Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 3: de julio a agosto de 2014
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Secuencias de Cauchy

De Epistemowikia

En análisis matemático, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entre dos términos se va reduciendo a medida que se avanza. Se llama así en honor al matemático francés Cauchy. Su interés radica en que se puede verificar que una sucesión es de Cauchy sin conocer el punto de convergencia.


En un espacio métrico (M, d), una sucesión {xn} se dice sucesión de Cauchy, si para todo \varepsilon > 0, existe un N,tal que para todos n,m > N se verifica que la distancia entre dos términos d(xn,xm) es inferior a \varepsilon.

Es fácil demostrar que toda sucesión convergente es de Cauchy, sin embargo no toda sucesión de Cauchy es convergente.

Ejemplo: Toda sucesión convergente en un espacio métrico M, es de Cauchy. En efecto, si la sucesión {xn} converge a un límite {x0} en M, entonces, dado un \varepsilon > 0, existe un N > 0, tal que

d(xn,x0) < \varepsilon/2, para todo n > N. En particular, para n y m mayores que N, se tendrá

d(xn,xm)d(xn,x0) + d(xm,x0) < \varepsilon/2 + \varepsilon/2.

Luego la sucesión es de Cauchy.

Ejemplo: Existen sucesiones que son de Cauchy, pero no son convergentes, por ejemplo la sucesión \{ \frac{1}{n} \} es de Cauchy en M = (0, 1] , pero no es convergente. (el límite que es igual a cero no es un elemento de M)

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