Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 3: de julio a agosto de 2014
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Serie de términos reales

De Epistemowikia

SERIE INFINITA. SUMAS PARCIALES

Sea (an) una sucesión de números reales, y formamos una nueva sucesión (sn) como sigue:

                     sn = a1 + a2 + ... + an (n=1,2,...)

El par ordenado de sucesiones ((an),(sn)) se llama serie infinita de término general an. Al número sn se le llama suma parcial de la serie. Se dice que una serie converge o diverge según que la sucesión (sn) sea convergente o divergente

Si la sucesión (sn) converge hacia s, el número s se llama suma de la serie y se escribe:

                          
                            \sum_{k=1}^	\mathcal{1} a_k
                           

En la práctica denotaremos a una serie de la forma:  \sum_{n=1}^\mathcal{1} a_n

RESTO

Dada una serie  \sum_{n=1}^\mathcal{1} a_n , se denomina resto de orden k, denotándose Rk, a la suma:

                    
                      R_k = \sum_{n=k+1}^	\mathcal{1} a_n
                     

Rk es pues la suma de todos los términos de la serie a partir de k+1.

Para cualquier serie convergente de suma s y para todo k se tiene que: Rk + Sk = S. También podemos definir Rk como:  R_k = \sum_{n=k}^\mathcal{1} a_n

Tabla de contenidos

Convergencia, convergencia absoluta y suma

Sea un serie Σan = a1 + a2+ ... + an

Su sucesión de sumas parciales sería S1 = a1

Sn = Sn-1 + an

1.- Si la sucesión de sumas parciales es convergente entonces la serie Σan es convergente. El límite de la sucesión de sumas parciales será el límite de la serie.

2.- Si la sucesión de sumas parciales es divergente, entonces la serie Σan es divergente.

3.- Si la sucesión de sumas parciales no tiene límite, entonces la serie Σan es oscilante.

Además diremos que:

a) Una serie es absolutamente convergente si y solo si la serie de sus valores absolutos es convergente.

Σan es absolutamente convergente si y solo si Σ|an| es convergente.

b) Una serie convergente pero no absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente

Propiedades. Agrupamiento y reordenación de términos

1 - El carácter de una seri de números reales no varía siempre que suprimamos un número finito de términos, la suma puede variar, pero no el carácter.
2 - Si dos series son convergentes, entonces su serie suma y diferencia también lo son. Las series así formadas serán: S(a_n \pm b_n) = Sa_n \pm Sb_n
3 - Si tenemos una serie (a_n) convergente y otra (b_n) divergente, entonces la serie suma es divergente.
4 - Propiedad de homogeneidad: Partimos de una serie de números reales cualesquiera: Sean: \Sigma a_n  y  k \in \mathbb{R}  \Rightarrow  \Sigma a_n y \Sigma K \cdot a_n  tienen el mismo carácter
5 - Propiedad de asociatividad: Tenemos una serie: Σan = (a1 + ... + ai) + (ai + 1 + ... + aj) + aj + 1 + ... Y otra serie: Σbn = b1 + b2 + b3dondeb1 = (a1 + ... + ai),b2 = (ai + 1 + ... + aj),...
La serie a_n y b_n tienen el mismo carácter, siempre que la serie de partida sea convergente o divergente, pero no tiene por qué mantener la oscilación. Ej: Σ( − 1)n = ( − 1 + 1) + ( − 1 + 1) + ( − 1 + 1) + ... y Σ0 = 0 + 0 + ...

Estudio de las series geométrica, telescópica y aritmético-geométrica

Criterios de convergencia para series de números reales cualesquiera

Criterio de los restos

Si \Sigma a_n converge  \Rightarrow  \lim R_n = 0

Criterio general de convergencia de Cauchy

Si \Sigma a_n converge  \Rightarrow  \lim a_n (del término general) = 0

Por ejemplo: \Sigma n  \lim n \ne 0  \Rightarrow  \Sigma n  no converge, y además, como es serie de términos positivos, lo que sucede es que diverge a +\infty \Sigma \frac{1}{n}  \lim \frac{1}{n} = 0

Criterios de Dirichlet y Abel

En el Criterio de Abel si tenemos Σanqueconverge y {bn} es monótona y acotada, entonces \Sigma a_n \cdot b_n  también converge

Ponemos un ejemplo:

Sea Σ1n2 debemos poder descomponerla en dos, tales que se multipliquen entre ambas, una de ellas sea convergente y la otra monótona y acotada, para que podamos decir que la serie original converge.

Pero para esta serie no es posible: No se pudo entender (error desconocido): \Sigma 1 \cdot \{1}{n^2}

pero la serie 1 no converge ni es acotada.

De otra forma: \Sigma \frac {1}{n} \cdot \frac {1}{n} pero \frac{1}{n} no converge o no lo podemos saber a simple vista. Por lo que probamos de otro modo: \Sigma n \cdot \frac{1}{n^3} pero a pesar de que \frac{1}{n^3} converge, n no es acotada.

Luego para esta serie no nos ha servido aplicar el criterio de Abel.

Podemos preguntarnos por qué no es cierta la implicación al contrario, es decir, ¿por qué No se pudo entender (error desconocido\b): si \Sigma a_n \cdot \b_n converge no implica que \Sigma a_n converja y {b_n} sea monótona y acotada


Se demuestra con un ejemplo:

\Sigma \frac{1}{n^2}  \Rightarrow  \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \frac{1}{n^2} converge y sin embargo \frac{1}{n} no converge


El Criterio de Dirichlet dice que si se tiene una Σan tal que {S_n} (sumas parciales} es acotada y {b_n} es monótona y con límite igual a 0, entonces \Sigma a_n \cdot b_n  converge

Ejemplo: {bn} monótona y \lim b_n = 0  \Rightarrow  \Sigma (-1)^n \cdot b_n   converge Σ( − 1)n − − − − > S1 = − 1;;S2 = − 1 + 1 = 0;;S3 = − 1;;S4 = 0;;... por lo que {Sn} es acotada

Estudio de las series armónica, hiperarmónica y armónica alternada. Constante de Euler

Criterios de convergencia para series de números reales no negativos

Sumabilidad

Criterios generales de comparación: de la mayorante o de Gauss, comparación por cociente, comparación con paso al límite, comparación de segunda especie (de la razón) y de Kummer

El Criterio de comparación (ó de Gauss, o de la mayorante-minorante) dice: Sean ΣanyΣbn series de términos no negativos, supongamos que \exists n_0 \in \mathbb{N}^+) (\forall n \ge n_0) (a_n \le b_n

Si la menor diverge, la mayor también \Sigma a_n DIV  \Rightarrow  \Sigma b_n DIV Si la mayor converge, la menor también \Sigma b_n CONV  \Rightarrow  \Sigma a_n CONV

Ej: Σbn = Σn = 1 + 2 + 3 + ... \Sigma a_n = \Sigma \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...

Como se puede ver an es menor término a término, y además, como diverge a +\infty  \Rightarrow  (aplicando el criterio de comparación) \Sigma n  también diverge


Según el Criterio de comparación asintótica (ó por paso al límite): Si tenemos: Σan(seriedetrminosnonegativos)yΣbn(seriedetrminospositivos) Si el \lim \frac{a_n}{b_n} \in \mathbb{R}^+  \Rightarrow  \Sigma a_n y \Sigma b_n  tienen el mismo carácter

Criterios particulares de comparación: Pringsheim, logarítmico, log-logarítmico y de condensación de Cauchy

Criterios automáticos: del cociente (D’Alembert), de la raíz (Cauchy-Hadamard), de Raabe-Duhamel, de Bertrand y criterio integral

El criterio del cociente (de D'Alembert) dice: Sea Σanunaseriedetrminospositivos
Si el \overline{\lim}\frac{a_{n+1}}{a_n} < 1  \Rightarrow  \Sigma a_n CONVERGE
Por este criterio también tenemos que si el \underline{\lim}\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1  \Rightarrow  \Sigma a_n DIVERGE
Por ejemplo: Sea \Sigma \frac{1}{n} Entonces aplicamos el criterio del cociente: \lim \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} = \lim \frac{n}{n+1} = 1    Por lo que el criterio del cociente no decide en este caso
Sea \Sigma \frac{1}{n^2} Aplicando el criterio del cociente: \lim \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}} = \lim \frac{n^2}{n^2+2n+1} = 1    Por lo que el criterio del cociente tampoco decide en este caso
Sea Σ2n Ahora aplicamos el criterio del cociente: \lim \frac {2^{n+1}}{2^n} = 2 > 1   \Rightarrow  \Sigma 2^n DIVERGE

Criterio de la raíz (Cauchy-Hadamard) Sea Σanunaseriedetrminosnonegativos, entonces: Si el \overline{\lim}\sqrt[n]{a_n} < 1  \Rightarrow  \Sigma a_n  CONVERGE
También se cumple que si el \underline{\lim}\sqrt[n]{a_n} > 1  \Rightarrow  \Sigma a_n  DIVERGE
Por ejemplo: Sea Σ2n Aplicamos el criterio de la raíz: \lim \sqrt[n]{2^n}  = 2 > 1  \Rightarrow  \Sigma 2^n   DIVERGE



Criterio de Raabe-Duhamel: Sea Σanunaseriedetrminospositivos Entonces, si el \overline{\lim}(n \cdot (1 - \frac{a_{n+1}}{a_n})) < 1  \Rightarrow  \Sigma a_n  DIVERGE Y también se cumple que si el: \underline{\lim}(n \cdot (1 - \frac{a_{n+1}}{a_n})) > 1  \Rightarrow  \Sigma a_n  CONVERGE
Por ejemplo: Sea Σn, entonces \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{n} Y el \lim n \cdot (1 - \frac{n+1}{n}) = \lim n(\frac{n-n-1}{n}) = \lim n(\frac{-1}{n}) = -1 < 1  (Ahora aplicamos el criterio de Raabe-Duhamel) \Rightarrow  \Sigma n  DIVERGE
Sea \Sigma \frac{1}{n}, entonces \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n}{n+1} Y el \lim n(1 - \frac{n}{n+1}) = \lim n(\frac{n+1-n}{n+1}) = 1    Luego el criterio de Raabe-Duhamel no decide sobre la convergencia de esta serie
Sea \Sigma \frac{1}{n^2}, luego \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^2}{n^2+2n+1} Y el \lim n(1 - \frac{n^2}{n^2+2n+1}) = \lim n(\frac{n^2+2n+1-n^2}{n^2+n}) = = \lim \frac{2n^2+n}{n^2+n} = 2 >1  \Rightarrow (aplicando el criterio de Raabe-Duhamel) \Sigma \frac{1}{n^2}  CONVERGE

Series con infinitos términos positivos y negativos

Series alternadas. Criterio de Leibniz

Sea \Sigma (-1)^{n+1} \cdot a_n,  donde \forall n \in \mathbb{N}^+, a_n > 0 El criterio dice que si \forall n \in \mathbb{N}^+, si  a_{n+1} \le a_n  y el \lim a_n = 0 Entonces la serie converge (\Sigma (-1)^{n+1} \cdot a_n CONVERGE)  y 0 < S(-1)^{n+1} \cdot a_n < a_1

Reordenaciones. Subseries positiva y negativa. Teoremas de Riemann y Dirichlet

Teorema de Riemann

Consideremos una serie Σan que contenga infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. A partir de esta serie es posible generar otras dos series:

1.- La serie Σbn formada por los términos positivos de Σan

2.- La serie Σcn formada por los valores absolutos de los términos negativos de Σan

Pueden darse los casos siguientes:

a)Si se da el caso de que ambas subseries convergen, entonces la serie original es absolutamente convergente.

b)Si una es convergente y la otra divergente, la serie original es incondicionalmente divergente.

c)Si ambas son divergentes, la convergencia o divergencia que presenta la serie original es condicional.

Además si la serie original Σan cu,mple que el límite de la sucesión an es 0 entonces es posible alterar el orden de los términos de la serie de tal manera que podemos conseguir una serie convergente o divergente.

Ejemplo: Σ(-1)n*1/n

Sería la serie Σan = -1 + 1/2 -1/3 + 1/4+...

Si nos fijamos los términos pares de la sucesión son todos términos positivos. Esta sería nuestra subserie Σbn

Σbn = 1/2+1/4+1/6... = Σa2n

Y los términos impares siempre son términos negativos. Luego podremos definir la subserie Σcn

Σcn = |-1|+|-1/3|+|-1/5|+... = Σ|a2n-1|

Luego ya tenemos dos subseries:

Σbn=Σ1/2n y Σcn=Σ1/2n-1

Veamos si son convergentes o divergentes.

Por el criterio de Pringsheim aplicado a la subserie positiva:

lim nα*1/n siendo α=1 es = lim n/2n = 1/2 → la serie diverge

Luego la serie original no sería absolutamente convergente. Habría que ver los otros casos.

Serie hiper-geométrica

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