Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 3: de julio a agosto de 2014
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Sucesión de Cauchy

De Epistemowikia

Tabla de contenidos

Definición de sucesión de Cauchy y relación con la convergencia

Comencemos con la definición formal de sucesión de Cauchy, también llamada sucesión fundamental: Sea (E,d) un espacio métrico cualquiera, y {an} una sucesión contenida en E. Podemos afirmar que:

{an} es una sucesión de Cauchy en (E,d) ⇔ (∀ε∈ℝ?+)(∃n0∈ℕ+)(∀p,q≿n0)(|d(ap,aq)|<ε)

Esto quiere decir que una sucesión es de Cauchy si y sólo si para todo ε mayor que 0, hay un término n0 de la sucesión tal que a partir de él si tomamos otros dos términos cualesquiera la distancia entre ellos será menor que ε. Veamos algunos ejemplos:

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Ej: en (�?,d2), ¿La sucesión {an=n} es de Cauchy? Pues parece que no, esta sucesión sería algo así como {1, 2, 3, 4...}, y podemos observar que la distancia mínima entre dos términos es 1, por lo que podríamos coger un ε mayor que 0 y menor que 1, puesto que la definición dice que ε∈�?: {an=n}no es de Cauchy ⇔ (∃ε∈�?+)(∀n0∈ℕ+)(∃p,q≥n0)(|d(ap,aq)|≥ε), basta con coger ε<1, porque d(ap,aq)≥1


Ej: en(�?,d2) ¿La sucesión {an=3} es de Cauchy? Queda bastante claro que sí lo es, puesto que la distancia entre dos términos de la sucesión es siempre 0, que siempre va a ser menor que cualquier ε que elijamos, ya que la definición dice que ε∈�?+


Ej: en (ℚ,d2), ¿La sucesión {an=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n} es de Cauchy? Supongamos que no lo es:

{an=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n} no es de Cauchy ⇔ (∃ε∈�?+)(∀n0∈ℕ+)(∃p,q≥n0)(|d(ap,aq)|≥ε).Debemos centrarnos en encontrar p, q y ε para que se cumpla el supuesto. Partiendo de que p>q, expresamos la distancia entre ap y aq de la siguiente manera:

|1/(q+1) + 1/(q+2) + ... + 1/p| ≥ ∊

(ME FALTA COPIARLO)

una vez que hemos llegado a este punto, basándonos de nuevo en que p>q, queda claro que p>...>q+2>q+1. Y de ahí deducimos: 1/p<...<1/q+2<1/q+1. por tanto, podríamos expresar la desigualdad anterior de la siguiente forma:

(ME FALTA COPIARLO)

Ahora nuestro objetivo es <<quitar>> la p del segundo término, para poder obtener un ε que no dependa de p. Para ello, supongamos que p es múltiplo de q, de tal manera que p=2q:

(ME FALTA COPIARLO)

Al saber que p=2q, podemos afirmar que cada parte de la desilgualdad tiene q términos: q+1,q+2,q+3,...,p = q+1,q+2,q+3,..,q+q; Así podemos simplificar el segundo miembro de la desigualdad de manera que <<quitamos>> q, y así obtenemos ε:

(ME FALTA COPIARLO)

Así pues, podemos elegir cualquier q y p=2q, y veremos que su distancia es mayor de 1/2.

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Otras propiedades

Veamos ahora algunos resultados interesantes de las sucesiones de Cauchy o sucesiones fundamentales: (Estaría bien que si alguien demostrase alguna de estas propiedades, que añadiese la demostración debajo de su enunciado)

- Si {an} es de Cauchy, cualquier subsucesión de {an} también lo es.

- Cualquier subsucesión constante es de Cauchy.

- En cualquier espacio métrico toda sucesión de Cauchy está acotada.

- En cualquier espacio métrico toda sucesión convergente es de Cauchy.

- En cualquier espacio métrico, si una sucesión {an} es de Cauchy y tiene una subsucesión corvengente, entonces {an} también es convergente

- Sea (k,+,·,≤) un cuerpo ordenado y (k,d2) un espacio métrico. Si tenemos dos sucesiones de Cauchy {an} y {bn} se cumple que: a)la sucesión resultante de la suma de ambas sucesiones también es de Cauchy b)la sucesión producto de ambas sucesiones es de Cauchy también
Espacios métricos completos:</br>
- un espacio métrico es completo si y solo si toda sucesión de Cauchy de elementos del espacio es convergente.

- Un subconjunto del espacio métrico es completo si y solo si como subespacio métrico lo es. Toda sucesión de Cauchy elementos de A es convergente en (A,d).

- En un espacio métrico cualquiera, todo subconjunto completo es cerrado.

- Si el espacio métrico escogido es completo, todos sus subconjuntos cerrados son completos.

Operaciones algebraicas y sucesiones de Cauchy

Sucesiones de Cauchy de números racionales. Construcción de �?

Espacios y conjuntos completos

Contracciones. Teorema del punto fijo

Método de las aproximaciones sucesivas

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Método de Jacobi

Método de Gauss-Seidel

[...]


Temas relacionados

Fuentes y referencias

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Bibliografía complementaria

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