Epistemowikia
Revista «Hiperenciclopédica» de Divulgación del Saber
Segunda Época, Año IX
Vol. 8, Núm. 1: de enero a marzo de 2014
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Tautología

De Epistemowikia

Tabla de contenidos

Definición

Una tautología es un caso especial de proposiciones lógicas caracterizadas por tener exclusivamente el valor verdadero en la columna final de su tabla de verdad, independientemente del valor de las demás proposiciones. Las tautologías son muy comunes, y algunas de ellas muy importantes, tanto, que constituyen leyes o principios lógicos. La validez lógica es justamente el que no puede darse el caso de que siendo verdad el antecedente, no lo sea el consecuente. Todos los argumentos deductivos válidos son tautologías, por definición. Las tautologías son muy importantes en lógica porque son leyes en las que nos podemos apoyar para demostraciones matemáticas.

Principio de identidad

El principio de indentidad dice que lo que es, es. Formalmente se indica que una proposición P = P. Como se ve en su tabla de verdad, esto es una tautología.


P

P

P = P

V

V

V

F

F

V



Principio del tercio excluido

Formalmente se demuestra que dada una proposición P, esta es verdadera o no es verdadera, pero no puede ser ambas a la vez, es decir, P v ¬P siempre es verdad, por tanto es una tautología. A esta tautología se la conoce como principio del tercio excluido por que entre dos proposiciones que juntas forman una contradicción no existe una tercera posibilidad,es decir, la tercera está excluida.


P

¬P

P v ¬P

V

F

V

F

V

V


Principio de no Contradicción

El principio de no contradicción dice que es imposible que algo sea y no sea en el mismo sentido y en el mismo sujeto, es decir, dada la proposición "P es P" esta siempre será verdadera (tautológica por tanto) pues lo contrario sería caer en una contradicción.

Tautologías más usuales

Las tautologías más conocidas y más usadas en demostraciones matemáticas son las siguientes:

1.- Doble negación.

a). ¬¬p ⇔ p

2.- Leyes conmutativas.

a). (p∨q)⇔(q∨p)

b). (p∧q)⇔(q∧p)

c). (p↔q)⇔(q↔p)

3.- Leyes asociativas.

a). [(p∨q)∨r]⇔[p∨(q∨r)]

b). [(p∨q)∨r]⇔[p∨(q∨r)]

4.- Leyes distributivas.

a). [p∨(q∧r)]⇔[(p∨q)∧(p∨r)]

b). [p∧(q∨r)]⇔[(p∧q)∨(p∧r)]

5.- Leyes de idempotencia.

a). (p∨p)⇔p

b). (p∧p)⇔p

6.- Leyes de Morgan.

a). ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q)

b). ¬(p∧q)⇔(¬p∨¬q)

c). (p∨q)⇔¬(¬p∧¬q)

d). (p∧q)⇔¬(¬p∨¬q)

7.- Contrapositiva.

a). (p→q)⇔(q'→p')

8.- Implicación.

a). (p→q)⇔(¬p∨q)

b). (p→q)⇔¬(p∧¬q)

c). (p∨q)⇔(¬p→q)

d). (p∧q)⇔¬(p→¬q)

e). [(p→r)∧(q→r)]⇔[(p∧q)→r]

f). [(p→q)∧(p→r)]⇔[p→(q∧r)]

9.- Equivalencia

a). (p↔q)⇔[(p→q)∧(q→p)]

10.- Adición.

a). p⇒(p∨q)

11.- Simplificación.

a). (p∧q)⇒p

12.- Absurdo.

a). (p→0)⇒¬p

13.- Modus ponens.

a). [p∧(p→q)]⇒q

14.- Modus tollens.

a). [(p→q)∧¬q]⇒¬p

15.- Transitividad del ↔

a). [(p↔q)∧(q↔r)]⇒(p↔r)

16.- Transitividad del →

a). [(p→q)∧(q→r)]Þ(p→r)

17.- Mas implicaciones lógicas.

a). (p→q)⇒[(p∨r)→(q∨s)]

b). (p→q)⇒[(p∧r)→(q∧s)]

c). (p→q)⇒[(q→r)→(p→r)]

18.- Dilemas constructivos.

a). [(p→q)∧(r→s)]⇒[(p∨r)→(q∨s)]

b). [(p→q)∧(r→s)]⇒[(p∧r)→(q∧s)]

Fuentes

José Alfredo Jiménez Murillo y Ma. Aleida Hernández Yánez

Centro Interdisciplinario de Investigación y Docencia en Educación Técnica (CIIDET) Querétaro Qro. México.

Ana García-Serrano , Artificial Intelligence Department (DIA) School of Computer Science (FIM) Technical University of Madrid

Licencia









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